Найти точки экстремума функции:

1) y = x ^ 3 - 4x ^ 2

Для нахождения точек экстремума функции \( y = x^3 - 4x^2 \) необходимо выполнить несколько шагов: ### Шаг 1: Находим производную функции Сначала находим первую производную функции \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x^2) = 3x^2 - 8x \] ### Шаг 2: Находим критические точки Критические точки находятся, когда производная равна нулю: \[ 3x^2 - 8x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ x(3x - 8) = 0 \] Теперь решим это уравнение: 1. \( x = 0 \) 2. \( 3x - 8 = 0 \) ⇒ \( 3x = 8 \) ⇒ \( x = \frac{8}{3} \) Таким образом, критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{8}{3} \). ### Шаг 3: Определяем тип экстремума Для определения типа экстремума используем вторую производную: Находим вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 8x) = 6x - 8 \] Теперь подставим критические точки в вторую производную: 1. Для \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6 \cdot 0 - 8 = -8 \] Так как \( y''(0) < 0 \), то в точке \( x = 0 \) находится максимальный экстремум. 2. Для \( x = \frac{8}{3} \): \[ y''\left(\frac{8}{3}\right) = 6 \cdot \frac{8}{3} - 8 = 16 - 8 = 8 \] Так как \( y''\left(\frac{8}{3}\right) > 0 \), то в точке \( x = \frac{8}{3} \) находится минимальный экстремум. ### Шаг 4: Находим значения функции в критических точках Теперь найдем значения функции в этих критических точках, чтобы определить координаты экстремумов: 1. Для \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 4 \cdot 0^2 = 0 \] 2. Для \( x = \frac{8}{3} \): \[ y\left(\frac{8}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{512}{27} - 4 \cdot \frac{64}{9} = \frac{512}{27} - \frac{256}{27} = \frac{256}{27} \] ### Шаг 5: Записываем окончательные результаты Итак, точки экстремума функции: 1. Максимум в точке \( (0, 0) \) 2. Минимум в точке \( \left(\frac{8}{3}, \frac{256}{27}\right) \) Это окончательные значения экстремумов функции \( y = x^3 - 4x^2 \).