Найти точки экстремума функции:

1) y = x ^ 3 - 4x ^ 2

Для нахождения точек экстремума функции $y=x^3-4x^2$ необходимо выполнить несколько шагов: ### Шаг 1: Находим производную функции Сначала находим первую производную функции $y^{\prime }$: $$y^{\prime }=\frac{d}{dx}(x^3-4x^2)=3x^2-8x$$ ### Шаг 2: Находим критические точки Критические точки находятся, когда производная равна нулю: $$3x^2-8x=0$$ Вынесем общий множитель: $$x(3x-8)=0$$ Теперь решим это уравнение: 1. $x=0$ 2. $3x-8=0$ ⇒ $3x=8$ ⇒ $x=\frac{8}{3}$ Таким образом, критические точки: $x=0$ и $x=\frac{8}{3}$. ### Шаг 3: Определяем тип экстремума Для определения типа экстремума используем вторую производную: Находим вторую производную: $$y^{″}=\frac{d}{dx}(3x^2-8x)=6x-8$$ Теперь подставим критические точки в вторую производную: 1. Для $x=0$: $$y^{″}(0)=6\cdot 0-8=-8$$ Так как $y^{″}(0)<0$, то в точке $x=0$ находится максимальный экстремум. 2. Для $x=\frac{8}{3}$: $$y^{″}\left(\frac{8}{3}\right)=6\cdot \frac{8}{3}-8=16-8=8$$ Так как $y^{″}\left(\frac{8}{3}\right)>0$, то в точке $x=\frac{8}{3}$ находится минимальный экстремум. ### Шаг 4: Находим значения функции в критических точках Теперь найдем значения функции в этих критических точках, чтобы определить координаты экстремумов: 1. Для $x=0$: $$y(0)=0^3-4\cdot 0^2=0$$ 2. Для $x=\frac{8}{3}$: $$y\left(\frac{8}{3}\right)={\left(\frac{8}{3}\right)}^3-4{\left(\frac{8}{3}\right)}^2=\frac{512}{27}-4\cdot \frac{64}{9}=\frac{512}{27}-\frac{256}{27}=\frac{256}{27}$$ ### Шаг 5: Записываем окончательные результаты Итак, точки экстремума функции: 1. Максимум в точке $(0,0)$ 2. Минимум в точке $(\frac{8}{3},\frac{256}{27})$ Это окончательные значения экстремумов функции $y=x^3-4x^2$.