Для нахождения обратной функции к данной функции \( y = \sqrt{x} - 1 \), следуем следующим шагам:
1.
Запишем функцию в виде уравнения:
\[
y = \sqrt{x} - 1
\]
2.
Изолируем корень:
Чтобы найти обратную функцию, сначала нужно изолировать \(\sqrt{x}\). Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
\[
y + 1 = \sqrt{x}
\]
3.
Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
Чтобы избавиться от корня, возводим обе стороны уравнения в квадрат:
\[
(y + 1)^2 = x
\]
4.
Запишем обратную функцию:
Теперь выразим \(x\) через \(y\):
\[
x = (y + 1)^2
\]
Значит, обратная функция будет:
\[
f^{-1}(y) = (y + 1)^2
\]
5.
Проверим полученную обратною функцию:
Теперь подставим \(f^{-1}(y)\) в исходную функцию, чтобы убедиться, что мы получили правильный результат.
Подставим \(x = (y + 1)^2\) в оригинальную функцию:
\[
y = \sqrt{(y + 1)^2} - 1
\]
Так как \(\sqrt{a^2} = |a|\), когда \(y + 1 \geq 0\) (это условие выполнено для всех \(y \geq -1\)):
\[
y = |y + 1| - 1
\]
Для \(y \geq -1\), это упростится до:
\[
y = (y + 1) - 1 = y
\]
Таким образом, мы подтвердили, что нашу обратную функцию правильно найдена.
6.
Заключение:
Обратная функция к \( y = \sqrt{x} - 1 \) на промежутке от \((-\infty, \infty)\) (где функция определена и обратима) есть:
\[
f^{-1}(y) = (y + 1)^2
\]
Прошу прощения за путаницу. Давайте еще раз проверим процесс нахождения обратной функции, так как изначальная область определения функции ограничивается неотрицательными значениями переменной под корнем.
Исходная функция:
\[ y = \sqrt{x} - 1 \]
1.
Изолируем квадратный корень:
\[ y + 1 = \sqrt{x} \]
2.
Возведем обе стороны в квадрат:
\[ (y + 1)^2 = x \]
3.
Выражение для обратной функции:
Обратная функция выражена в виде:
\[ f^{-1}(y) = (y + 1)^2 \]
4.
Проверка корректности:
Функция \( y = \sqrt{x} - 1 \) определена для \( x \geq 0 \), следовательно, \( f^{-1}(y) = (y + 1)^2 \) также должно соблюдаться условие \( y \geq -1 \).
Итак, если вы сопоставите все шаги, то функция обратима на промежутке \( y \geq -1 \). Полученная обратная функция:
\[ f^{-1}(y) = (y + 1)^2 \]
Таким образом, ответ остается тем же: обратная функция к первоначальной, учитывая область определения, есть \( f^{-1}(y) = (y + 1)^2 \). Если это не совсем соответствует поставленной задаче, уточни диапазон и форму исходной функции.
54
Задай свой вопрос