Показать ответ
1 👍
Для решения задачи о случайной величине \(X\) с заданной функцией плотности распределения \(f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ a \sin(x), & 0 < x \leq \pi \\ 0, & x > \pi \end{cases}\), разобьем задачу на три части:
### 1) Найдем функцию распределения \(F(x)\) и необходимые константы
#### Шаг 1.1: Найдем значение константы \(a\)
Чтобы \(f(x)\) была корректной функцией плотности, необходимо, чтобы интеграл от \(f(x)\) по всему пространству равнялся 1:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1.
\]
Так как \(f(x) = 0\) для \(x \leq 0\) и \(x > \pi\), достаточно вычислить интеграл на интервале \((0, \pi)\):
\[
\int_{0}^{\pi} a \sin(x) \, dx.
\]
Интегрируем:
\[
\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C.
\]
Подставляем пределы:
\[
\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1 + 1 = 2.
\]
Тогда:
\[
a \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = a \cdot 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}.
\]
Таким образом, функция плотности:
\[
f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} \sin(x), & 0 < x \leq \pi \\ 0, & x > \pi \end{cases}.
\]
#### Шаг 1.2: Найдем функцию распределения \(F(x)\)
Для нахождения функции \(F(x)\) используем:
\[
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt.
\]
Определим \(F(x)\) на различных интервалах:
- Для \(x \leq 0\):
\[
F(x) = 0.
\]
- Для \(0 < x \leq \pi\):
\[
F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{2} \sin(t) \, dt = -\frac{1}{2} \cos(t) \bigg|_{0}^{x} = -\frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{2} \cos(0) = -\frac{1}{2} \cos(x) + \frac{1}{2} = \frac{1 - \cos(x)}{2}.
\]
- Для \(x > \pi\):
\[
F(x) = 1.
\]
Итак, функция распределения:
\[
F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1 - \cos(x)}{2}, & 0 < x \leq \pi \\ 1, & x > \pi \end{cases}.
\]
### 2) Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
#### Шаг 2.1: Математическое ожидание \(E(X)\)
Математическое ожидание определяется как:
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} x \cdot \frac{1}{2} \sin(x) \, dx.
\]
Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям:
Пусть \(u = x\) и \(dv = \frac{1}{2} \sin(x) dx\).
Тогда \(du = dx\) и \(v = -\frac{1}{2} \cos(x)\).
Применяем формулу:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du.
\]
Подставим пределы:
\[
E(X) = \left[-\frac{1}{2} x \cos(x) \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx.
\]
Вычислим:
\[
-\frac{1}{2} [\pi \cdot (-1) - 0] + \frac{1}{2} [\sin(x)]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}.
\]
#### Шаг 2.2: Дисперсия \(D(X)\)
Дисперсия:
\[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
\]
Пытаемся найти \(E(X^2)\):
\[
E(X^2) = \int_{0}^{\pi} x^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(x) \, dx.
\]
Снова используем метод интегрирования по частям:
Пусть \(u = x^2\) и \(dv = \frac{1}{2} \sin(x) dx\), тогда \(du = 2x dx\) и \(v = -\frac{1}{2} \cos(x)\).
Используем формулу:
\[
E(X^2) = \left[-\frac{1}{2} x^2 \cos(x)\right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} x \cos(x) \, dx.
\]
Вычислим первый член:
\[
-\frac{1}{2} [\pi^2 (-1) - 0] = \frac{\pi^2}{2}.
\]
Теперь второй интеграл вычислим также по частям:
Пусть \(u = x\), \(dv = \cos(x) dx\), тогда:
\[
E(X^2) = \frac{\pi^2}{2} + \left[ x \sin(x) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin(x) dx.
\]
Первый член равен:
\[
[\pi \cdot 0 - 0] - \left[-\cos(x)\right]_{0}^{\pi} = 0 - (-1 - 1) = 2.
\]
Таким образом:
\[
E(X^2) = \frac{\pi^2}{2} + 2.
\]
Теперь подставляем \(D(X)\):
\[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \left(\frac{\pi^2}{2} + 2\right) - \left(\frac{\pi}{2}\right)^2.
\]
Упрощаем:
\[
D(X) = \left(\frac{\pi^2}{2} + 2 - \frac{\pi^2}{4}\right) = \frac{2\pi^2 + 8 - \pi^2}{4} = \frac{\pi^2 + 8}{4}.
\]
#### Шаг 2.3: Среднее квадратическое отклонение
Среднее квадратическое отклонение:
\[
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{\pi^2 + 8}{4}} = \frac{\sqrt{\pi^2 + 8}}{2}.
\]
### 3) Найдем вероятность попадания случайной величины \(X\) в интервал \((-π/6, \pi/4)\)
Эта вероятность может быть найдена через функцию распределения:
\[
P\left(-\frac{\pi}{6} < X < \frac{\pi}{4}\right) = F\left(\frac{\pi}{4}\right) - F\left(-\frac{\pi}{6}\right).
\]
Так как \(F(-\frac{\pi}{6}) = 0\) и
\[
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.
\]
Следовательно:
\[
P\left(-\frac{\pi}{6} < X < \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.
\]
### Графики функций плотности и распределения
График функции плотности \(f(x)\) будет представлять собой синусоиду, ограниченную на интервале \( (0, \pi) \), и график функции распределения \(F(x)\) будет плавно возрастать от 0 до 1 на этом же интервале.
Таким образом, мы завершили решение задачи.
28
Задай свой вопрос