В какой строке и в каком столбце стоит число 210 в треугольнике паскаля

Чтобы найти, в какой строке и в каком столбце стоит число 210 в треугольнике Паскаля, нужно использовать формулу для вычисления биномиальных коэффициентов. Число в треугольнике Паскаля на позиции (n, k) вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где: - \( n \) - номер строки (начиная с 0), - \( k \) - номер элемента в строке (также начиная с 0), - \( n! \) - факториал числа \( n \). ### Шаг 1: Определение диапазона Сначала определим, в каких строках может находиться число 210. ### Шаг 2: Поиск подходящих \( n \) Факториал числа растёт очень быстро. Мы можем предположить, что 210 находится в строках не более чем до \( n = 10 \), так как \( C(10, 5) = 252 \) (выше чем 210). Поэтому исследуем строки от 0 до 9. ### Шаг 3: Подбор строк и столбцов Теперь начнем вычислять биномиальные коэффициенты: 1. Строка \( n = 0 \): \( C(0, 0) = 1 \) 2. Строка \( n = 1 \): \( C(1, 0) = 1, C(1, 1) = 1 \) 3. Строка \( n = 2 \): \( C(2, 0) = 1, C(2, 1) = 2, C(2, 2) = 1 \) 4. Строка \( n = 3 \): \( C(3, 0) = 1, C(3, 1) = 3, C(3, 2) = 3, C(3, 3) = 1 \) 5. Строка \( n = 4 \): \( C(4, 0) = 1, C(4, 1) = 4, C(4, 2) = 6, C(4, 3) = 4, C(4, 4) = 1 \) 6. Строка \( n = 5 \): \( C(5, 0) = 1, C(5, 1) = 5, C(5, 2) = 10, C(5, 3) = 10, C(5, 4) = 5, C(5, 5) = 1 \) 7. Строка \( n = 6 \): \( C(6, 0) = 1, C(6, 1) = 6, C(6, 2) = 15, C(6, 3) = 20, C(6, 4) = 15, C(6, 5) = 6, C(6, 6) = 1 \) 8. Строка \( n = 7 \): \( C(7, 0) = 1, C(7, 1) = 7, C(7, 2) = 21, C(7, 3) = 35, C(7, 4) = 35, C(7, 5) = 21, C(7, 6) = 7, C(7, 7) = 1 \) 9. Строка \( n = 8 \): \( C(8, 0) = 1, C(8, 1) = 8, C(8, 2) = 28, C(8, 3) = 56, C(8, 4) = 70, C(8, 5) = 56, C(8, 6) = 28, C(8, 7) = 8, C(8, 8) = 1 \) 10. Строка \( n = 9 \): \( C(9, 0) = 1, C(9, 1) = 9, C(9, 2) = 36, C(9, 3) = 84, C(9, 4) = 126, C(9, 5) = 126, C(9, 6) = 84, C(9, 7) = 36, C(9, 8) = 9, C(9, 9) = 1 \) ### Шаг 4: Указание найденного результата По результатам мы видим, что число 210 не попало в строки от 0 до 9. Теперь вычислим для строки \( n = 10 \): - \( C(10, 0) = 1 \) - \( C(10, 1) = 10 \) - \( C(10, 2) = 45 \) - \( C(10, 3) = 120 \) - \( C(10, 4) = 210 \) Таким образом, мы находим, что число 210 находится в строке \( 10 \) и в столбце \( 4 \). ### Ответ:

В треугольнике Паскаля используются биномиальные коэффициенты, которые позволяют находить количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов. Они обозначаются как \( C(n, k) \) или \( \binom{n}{k} \) и вычисляются по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где: - \( n! \) - факториал \( n \), который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до \( n \) (например, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)). - \( k \) - количество выбранных элементов (должно быть меньше или равно \( n \)). ### Определения: 1. : - : Произведение всех положительных целых чисел от 1 до данного числа. - : \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \). 2. : - : Количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) без учета порядка. - : Для \( C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \). 3. : - : Прямоугольная таблица, в которой каждая строка содержит биномиальные коэффициенты. - : Строки смотрятся так: - 0: \( 1 \) - 1: \( 1 \quad 1 \) - 2: \( 1 \quad 2 \quad 1 \) - 3: \( 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \) - 4: \( 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \) ### Примерные задачи с решениями : Найдите позицию числа 120 в треугольнике Паскаля. : 1. Рассмотрим строки от \( n = 0 \) до \( n = 10 \). 2. Для \( n = 10 \): - \( C(10, 0) = 1 \) - \( C(10, 1) = 10 \) - \( C(10, 2) = 45 \) - \( C(10, 3) = 120 \) Таким образом, \( 120 \) находится в строке \( 10 \) и столбце \( 3 \). : Число 120 находится в 10-й строке и 3-м столбце. --- : Какой номер строки и столбца соответствует числу 6 в треугольнике Паскаля? : 1. Рассматриваем строки до \( n = 6 \). 2. Для \( n = 4 \): - \( C(4, 0) = 1 \) - \( C(4, 1) = 4 \) - \( C(4, 2) = 6 \) Следовательно, число \( 6 \) находится в строке \( 4 \) и столбце \( 2 \). : Число 6 находится в 4-й строке и 2-м столбце. --- : Найдите, в какой строке и в каком столбце стоит число 56 в треугольнике Паскаля.