Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано уравнение:
\[
\frac{dy}{x-1} = \frac{dx}{y-2}
\]
Сначала переместим все элементы в одну сторону уравнения, чтобы привести его к более удобному виду. Умножим обе стороны на \((x-1)(y-2)\):
\[
dy(y-2) = dx(x-1)
\]
Теперь мы получили:
\[
y \, dy - 2 \, dy = x \, dx - x \, dx
\]
Давайте упростим уравнение:
\[
y \, dy - 2 \, dy = x \, dx.
\]
Теперь сгруппируем члены:
\[
y \, dy - 2 \, dy - x \, dx = 0.
\]
Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Разделим переменные:
\[
\frac{dy}{y-2} = \frac{dx}{x-1}.
\]
Теперь интегрируем обе стороны:
\[
\int \frac{dy}{y-2} = \int \frac{dx}{x-1}.
\]
Решая оба интеграла получим:
\[
\ln |y-2| = \ln |x-1| + C,
\]
где \(C\) – произвольная константа.
Теперь избавимся от логарифмов, используя экспоненту:
\[
|y-2| = e^C |x-1| = K |x-1|,
\]
где \(K = e^C\).
Теперь мы можем писать уравнение в виде:
\[
y - 2 = K (x - 1) \quad \text{или} \quad y = K (x - 1) + 2.
\]
Теперь подставим начальные условия \(x=0\), \(y=4\):
\[
4 = K(0 - 1) + 2.
\]
Упрощаем:
\[
4 = -K + 2.
\]
Теперь решим для \(K\):
\[
K = 2 - 4 = -2.
\]
Подставляем \(K\) обратно в уравнение:
\[
y = -2(x - 1) + 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2 + 2 = -2x + 4.
\]
Таким образом, мы получили:
\[
y = -2x + 4.
\]
Это и есть окончательный ответ. Проверим, подставив \(x=0\):
\[
y = -2(0) + 4 = 4.
\]
Таким образом, наше решение удовлетворяет начальным условиям.
Ответ:
\[
y = -2x + 4.
\]
11
Задай свой вопрос