Формула преобразования из производной в первообразную

Чтобы преобразовать производную в первообразную, нам нужно понять, что первообразная функции \( f(x) \) — это такая функция \( F(x) \), которая удовлетворяет равенству: \[ F'(x) = f(x) \] Это называется интегрированием, и для вычисления первообразной используются различные правила и формулы. ### 1. Основные правила интегрирования - **Правило степени**: Если \( n \neq -1 \), то \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] где \( C \) — произвольная константа. - **Интеграл от константы**: \[ \int a \, dx = ax + C \] где \( a \) — константа. - **Сумма функций**: \[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \] - **Разность функций**: \[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \] ### 2. Применение правил Рассмотрим пример: Найдем первообразную для функции \( f(x) = 3x^2 + 5 \). 1. **Применим правило степени** для \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] 2. **Применим правило для константы** для \( 5 \): \[ \int 5 \, dx = 5x \] 3. **Объединим результаты**: \[ \int (3x^2 + 5) \, dx = x^3 + 5x + C \] ### 3. Проверка Теперь проверим правильно ли мы нашли первообразную, взяв производную от \( F(x) = x^3 + 5x + C \): \[ F'(x) = 3x^2 + 5 \] Это совпадает с исходной функцией \( f(x) \), следовательно, наш ответ корректен: \[ \int (3x^2 + 5) \, dx = x^3 + 5x + C \] ### Итог Формула преобразования из производной в первообразную показана на простом примере. Если нужна помощь с другими функциями или более сложными интегралами, дайте знать!