Доходы жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. (в месяц). Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб.

Чтобы решить задачу, воспользуемся теорией вероятностей и свойствами нормального распределения. Давайте разберем решение шаг за шагом. **Шаг 1: Определение параметров выборки** Дано: - Математическое ожидание (μ) дохода = 10 тыс. руб. - Среднее квадратическое отклонение (σ) дохода = 2 тыс. руб. - Объем выборки (n) = 100 **Шаг 2: Вычисление стандартной ошибки выборки** Стандартная ошибка среднего (SE) рассчитывается по формуле: \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] Подставим известные значения: \[ SE = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0.2 \] **Шаг 3: Нормализация значений** Теперь нам нужно найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб. Для этого преобразуем исходные значения в Z-оценки. Формула для Z-оценки: \[ Z = \frac{X - \mu}{SE} \] Где X - значение, для которого вычисляем Z. Теперь вычислим Z для 9.5 и 10.5 тыс. руб. 1. Для X = 9.5: \[ Z_{9.5} = \frac{9.5 - 10}{0.2} = \frac{-0.5}{0.2} = -2.5 \] 2. Для X = 10.5: \[ Z_{10.5} = \frac{10.5 - 10}{0.2} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5 \] **Шаг 4: Поиск вероятностей по Z-оценкам** Теперь нам нужно найти вероятность того, что Z варьируется от -2.5 до 2.5. Это можно сделать, воспользовавшись таблицей стандартного нормального распределения. Для Z = -2.5, согласно таблице, вероятность P(Z < -2.5) примерно равна 0.0062. Для Z = 2.5, вероятность P(Z < 2.5) примерно равна 0.9938. Чтобы найти вероятность между этими двумя Z, вычтем значение для Z = -2.5 из значения для Z = 2.5: \[ P(-2.5 < Z < 2.5) = P(Z < 2.5) - P(Z < -2.5) \] \[ P(-2.5 < Z < 2.5) = 0.9938 - 0.0062 = 0.9876 \] **Шаг 5: Ответ** Таким образом, вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб., приблизительно равна 0.9876 или 98.76%. Это ответ на задачу.