в коробке 10 белых и 5 черных пуговиц 2 достают наугад

Чтобы понять, какова вероятность того, что из коробки, содержащей 10 белых и 5 черных пуговиц, при случайном выборе двух пуговиц мы получим определенные комбинации, давайте проанализируем задачу шаг за шагом. 1. **Общее количество пуговиц**: У нас имеется 10 белых и 5 черных пуговиц, всего 15 пуговиц (10 + 5 = 15). 2. **Общее количество способов выбрать 2 пуговицы**: Чтобы узнать, сколькими способами можно выбрать 2 пуговицы из 15, мы используем комбинаторику. Формула для выбора \( k \) объектов из \( n \) называется сочетанием и обозначается как \( C(n, k) \): \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае \( n = 15 \) и \( k = 2 \): \[ C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \] Это значит, что из 15 пуговиц 2 можно выбрать 105 способами. 3. **Вероятность различных комбинаций**: Теперь мы можем посчитать вероятность того, какие пуговицы мы можем выбрать. - **Вероятность выбрать 2 белые пуговицы**: Для этого нам нужно выбрать 2 белые пуговицы из 10 белых. Количество способов выбрать 2 белые пуговицы: \[ C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] Таким образом, вероятность выбрать 2 белые пуговицы: \[ P(2 \text{ белые}) = \frac{C(10, 2)}{C(15, 2)} = \frac{45}{105} = \frac{3}{7} \approx 0.4286 \] - **Вероятность выбрать 2 черные пуговицы**: Нам нужно выбрать 2 черные пуговицы из 5 черных: \[ C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Вероятность выбрать 2 черные пуговицы: \[ P(2 \text{ черные}) = \frac{C(5, 2)}{C(15, 2)} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21} \approx 0.0952 \] - **Вероятность выбрать 1 белую и 1 черную пуговицу**: Для этого мы можем выбрать 1 белую из 10 и 1 черную из 5. Количество способов сделать это: \[ C(10, 1) \times C(5, 1) = 10 \times 5 = 50 \] Вероятность выбрать 1 белую и 1 черную пуговицу: \[ P(1 \text{ белая и } 1 \text{ черная}) = \frac{50}{105} = \frac{10}{21} \approx 0.4762 \] 4. **Итоги**: - Вероятность выбрать 2 белые пуговицы: \( \frac{3}{7} \) - Вероятность выбрать 2 черные пуговицы: \( \frac{2}{21} \) - Вероятность выбрать 1 белую и 1 черную пуговицу: \( \frac{10}{21} \) Эти вероятности в сумме должны дать 1 (или 100%), и если вы сложите все три значения, вы получите 1, что подтверждает, что все возможные случаи учтены.