Для определения модулей векторов в прямоугольнике ABCD с заданными длинами сторон AB = 42 и BC = 56, начнем с анализа структуры прямоугольника.
1.
Определим длины сторон:
- Длина стороны AB (горизонтальная сторона): |AB| = 42
- Длина стороны BC (вертикальная сторона): |BC| = 56
- Из свойств прямоугольника следует, что противолежащие стороны равны: |CD| = |AB| и |AD| = |BC|. Таким образом:
- |CD| = 42
- |AD| = 56
2.
Определим модуль вектора AC:
- Вектор AC - это диагональ прямоугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления его длины:
\[
|AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{42^2 + 56^2}
\]
\[
|AC| = \sqrt{1764 + 3136} = \sqrt{4900} = 70
\]
3.
Определим точку O, центр прямоугольника:
- Центр прямоугольника O делит его на две равные части. Координаты точек A(0, 0), B(42, 0), C(42, 56), D(0, 56).
- Координаты центра O будут:
\[
O = \left(\frac{0 + 42}{2}, \frac{0 + 56}{2}\right) = (21, 28)
\]
4.
Определим модуль векторов OC и CO:
- Модуль вектора OC:
\[
|OC| = \sqrt{(x_C - x_O)^2 + (y_C - y_O)^2} = \sqrt{(42 - 21)^2 + (56 - 28)^2} = \sqrt{21^2 + 28^2}
\]
\[
|OC| = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35
\]
- Модуль вектора CO равен модулю вектора OC (вектора имеют одинаковую длину, так как они противоположные):
\[
|CO| = 35
\]
Теперь у нас есть все необходимые значения для модулей векторов:
- |AB| = 42
- |CD| = 42
- |AD| = 56
- |OC| = 35
- |CO| = 35
- |AC| = 70
Ответ:
- |AB| = 42
- |CD| = 42
- |AD| = 56
- |OC| = 35
- |CO| = 35
- |AC| = 70
В данном задании мы использовали несколько основных математических концепций для нахождения модулей векторов в прямоугольнике. Основные теории, которые были применены, заключаются в следующем:
1.
Вектор
— это математический объект, имеющий направление и величину. Векторы можно представлять в координатной системе как направленные от одной точки (начало) к другой (конец).
2.
Модуль вектора
— это численное значение, представляющее длину вектора. Модуль вектора \(\vec{a} = (x, y)\) можно вычислить по формуле:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
где \(x\) и \(y\) — это длины проекций вектора на оси координат.
3.
Прямоугольник
— это четырехугольник с параллельными и равными сторонами. Свойства прямоугольника включают, что противоположные стороны равны и все углы равны 90 градусам.
4.
Теорема Пифагора
— используется для вычисления длины диагонали прямоугольника. Формула выглядит как:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
где \(c\) — длина гипотенузы (в нашем случае диагонали), а \(a\) и \(b\) — длины катетов (сторон).
Пример проблем с решением
*Задача 1:*
Определите модуль вектора \(\vec{AB}\), если длина AB = 30 и BC = 40. Найдите также модуль вектора AC.
*Решение:*
1. Модуль вектора \(|AB|\):
\[
|AB| = 30
\]
2. Применим теорему Пифагора для нахождения \(|AC|\):
\[
|AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{30^2 + 40^2}
\]
\[
|AC| = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50
\]
*Ответ:*
- |AB| = 30
- |AC| = 50
*Задача 2:*
Определите длину стороны CD, если известны длины сторон прямоугольника AB = 24 и BC = 32. Найдите модуль вектора AD и диагонали AC.
*Решение:*
1. Модуль стороны CD равен модулю AB:
\[
|CD| = |AB| = 24
\]
2. Модуль стороны AD равен модулю BC:
\[
|AD| = |BC| = 32
\]
3. Для нахождения диагонали AC используем теорему Пифагора:
\[
|AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{24^2 + 32^2}
\]
\[
|AC| = \sqrt{576 + 1024} = \sqrt{1600} = 40
\]
*Ответ:*
- |CD| = 24
- |AD| = 32
- |AC| = 40
Практическая часть
Решите задачу самостоятельно:
Определите модули следующих векторов в прямоугольнике, если известно, что длина стороны AB = 48, а длина стороны BC = 64. Найдите также длины векторов CD, AD и диагонали AC.
27
Задай свой вопрос