а) найти число z=((i_1+2*i)^2)/(z_3-z_1)+z_2*z_1
б) изобразить на комплексной плоскости данные комплексные
числа, найти их модули и аргументы;
в) записать комплексные числа 1
z , 2
z и 3
z в тригонометрической
и показательной формах.
z 1 4i
1
  , z 2 2i
2
  ,
z  6  i
3
;

Чтобы решить поставленную задачу, давайте продействуем по пунктам. ### а) Найти число z Даны комплексные числа: - \( z_1 = 1 + 4i \) - \( z_2 = 2 + 2i \) - \( z_3 = 6 - i \) Первым шагом запишем выражение для \( z \): \[ z = \frac{(z_1 + 2z_2)^2}{z_3 - z_1} + z_2 z_1 \] Теперь начнем с того, что вычислим \( z_1 + 2z_2 \): \[ z_1 + 2z_2 = (1 + 4i) + 2(2 + 2i) = (1 + 4i) + (4 + 4i) = 5 + 8i \] Теперь вычислим квадрат этого выражения: \[ (z_1 + 2z_2)^2 = (5 + 8i)^2 \] Используем формулу для квадрата суммы: \[ (5 + 8i)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 8i + (8i)^2 = 25 + 80i - 64 = -39 + 80i \] Следующий шаг — вычислить \( z_3 - z_1 \): \[ z_3 - z_1 = (6 - i) - (1 + 4i) = 6 - 1 - i - 4i = 5 - 5i \] Теперь можем найти дробь: \[ \frac{(z_1 + 2z_2)^2}{z_3 - z_1} = \frac{-39 + 80i}{5 - 5i} \] Чтобы упростить эту дробь, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число знаментаеля: \[ \frac{-39 + 80i}{5 - 5i} \cdot \frac{5 + 5i}{5 + 5i} = \frac{(-39 + 80i)(5 + 5i)}{(5)^2 + (5)^2} = \frac{-195 - 195i + 400i + 400}{25 + 25} = \frac{205 + 205i}{50} \] Теперь упростим: \[ \frac{205 + 205i}{50} = \frac{205}{50} + \frac{205i}{50} = 4.1 + 4.1i \] Добавим теперь \( z_2 z_1 \): \[ z_2 z_1 = (2 + 2i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot 4i = 2 + 8i + 2i - 8 = -6 + 10i \] Теперь найдём \( z \): \[ z = (4.1 + 4.1i) + (-6 + 10i) = (4.1 - 6) + (4.1 + 10)i = -1.9 + 14.1i \] ### б) Изобразить на комплексной плоскости данные комплексные числа, найти их модули и аргументы Теперь давайте найдем модули и аргументы для каждого из комплексных чисел: **1.** \( z_1 = 1 + 4i \) - Модуль: \[ |z_1| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \] - Аргумент: \[ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{4}{1}\right) = \tan^{-1}(4) \] **2.** \( z_2 = 2 + 2i \) - Модуль: \[ |z_2| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Аргумент: \[ \theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \] **3.** \( z_3 = 6 - i \) - Модуль: \[ |z_3| = \sqrt{6^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \] - Аргумент: \[ \theta_3 = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{6}\right) \quad (\text{в четвертом квадранте}) \] ### в) Записать комплексные числа \( z_1, z_2, z_3 \) в тригонометрической и показательной формах **1.** Для \( z_1 \): - Тригонометрическая форма: \[ z_1 = |z_1| (\cos(\theta_1) + i \sin(\theta_1)) = \sqrt{17} \left(\cos\left(\tan^{-1}(4)\right) + i \sin\left(\tan^{-1}(4)\right)\right) \] - Показательная форма: \[ z_1 = |z_1|e^{i\theta_1} = \sqrt{17}e^{i \tan^{-1}(4)} \] **2.** Для \( z_2 \): - Тригонометрическая форма: \[ z_2 = |z_2| \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = 2\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 + 2i \] - Показательная форма: \[ z_2 = |z_2|e^{i\theta_2} = 2\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}} \] **3.** Для \( z_3 \): - Тригонометрическая форма: \[ z_3 = |z_3| (\cos(\theta_3) + i \sin(\theta_3)) = \sqrt{37} \left(\cos(\tan^{-1}(-\frac{1}{6})) + i \sin(\tan^{-1}(-\frac{1}{6}))\right) \] - Показательная форма: \[ z_3 = |z_3|e^{i\theta_3} = \sqrt{37} e^{i \tan^{-1}(-\frac{1}{6})} \] ### Итог: Нашли число \( z = -1.9 + 14.1i \), модули, аргументы и тригонометрические и показательные формы комплексных чисел. Если у вас есть дополнительные вопросы или уточнения, дайте знать.