Даны комплексные числа 1
z , 2
z и 3
z . Необходимо
а) найти число 2 1
3 1
2
1 2
( 2 )
z z
z z
z z
z 


 ;
б) изобразить на комплексной плоскости данные комплексные
числа, найти их модули и аргументы;
в) записать комплексные числа 1
z , 2
z и 3
z в тригонометрической
и показательной формах.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
z 1 4i
1
  , z 2 2i
2
  ,
z  6  i
3
;

Для решения задачи, давайте разберем каждую часть пошагово. ### Часть а) У нас есть комплексные числа: - \( z_1 = 1 + 4i \) - \( z_2 = 2 + 2i \) - \( z_3 = 6 - i \) Мы должны найти следующее выражение: \[ (2 z_1 + 3 z_2 - z_3) / (z_2 + z_1 + z_3) \] **Шаг 1: Находим числитель** \( 2 z_1 + 3 z_2 - z_3 \) - \( 2 z_1 = 2(1 + 4i) = 2 + 8i \) - \( 3 z_2 = 3(2 + 2i) = 6 + 6i \) - \( -z_3 = -(6 - i) = -6 + i \) Теперь сложим их: \[ 2 z_1 + 3 z_2 - z_3 = (2 + 8i) + (6 + 6i) + (-6 + i) \] Соберем действительные и мнимые части: \[ = (2 + 6 - 6) + (8 + 6 + 1)i = 2 + 15i \] **Шаг 2: Находим знаменатель** \( z_2 + z_1 + z_3 \) \[ z_2 + z_1 + z_3 = (2 + 2i) + (1 + 4i) + (6 - i) \] Считаем действительные и мнимые части: \[ = (2 + 1 + 6) + (2 + 4 - 1)i = 9 + 5i \] **Шаг 3: Теперь находим результат:** \[ \frac{2 + 15i}{9 + 5i} \] Используем умножение на сопряженное для деления комплексных чисел: \[ = \frac{(2 + 15i)(9 - 5i)}{(9 + 5i)(9 - 5i)} = \frac{(18 - 10 + 135i - 75i)}{81 + 25} = \frac{8 + 60i}{106} = \frac{8}{106} + \frac{60}{106}i \] Упростим дроби: \[ = \frac{4}{53} + \frac{30}{53}i \] ### Часть б) Теперь нужно изобразить на комплексной плоскости \( z_1 \), \( z_2 \), и \( z_3 \). - \( z_1 = 1 + 4i \) — точка (1, 4) - \( z_2 = 2 + 2i \) — точка (2, 2) - \( z_3 = 6 - i \) — точка (6, -1) **Шаг 1: Находим модули:** - Модуль \( z_1 \): \[ |z_1| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17} \] - Модуль \( z_2 \): \[ |z_2| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Модуль \( z_3 \): \[ |z_3| = \sqrt{6^2 + (-1)^2} = \sqrt{37} \] **Шаг 2: Находим аргументы:** - Аргумент \( z_1 \): \[ \arg z_1 = \tan^{-1}\left(\frac{4}{1}\right) = \tan^{-1}(4) \] - Аргумент \( z_2 \): \[ \arg z_2 = \tan^{-1}\left(1\right) = \frac{\pi}{4} \] - Аргумент \( z_3 \): \[ \arg z_3 = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{6}\right) \quad(\text{четвертый квадрат}) \] ### Часть в) Теперь запишем комплексные числа в тригонометрической и показательной формах. **Тригонометрическая форма:** - \( z_1 = |z_1| (\cos(\arg z_1) + i\sin(\arg z_1)) \) - \( z_2 = |z_2| (\cos(\arg z_2) + i\sin(\arg z_2)) \) - \( z_3 = |z_3| (\cos(\arg z_3) + i\sin(\arg z_3)) \) **Показательная форма:** - \( z_1 = |z_1| e^{i\arg z_1} \) - \( z_2 = |z_2| e^{i\arg z_2} \) - \( z_3 = |z_3| e^{i\arg z_3} \) Теперь у вас есть все шаги, результаты вычислений и формы представления комплексных чисел.