Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 часов. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 часов.

Для решения задачи о вероятности, что средний срок службы 100 ламп составит не менее 900 часов, можно использовать свойства нормального распределения. 1. **Определим параметры показательного распределения.** Срок службы лампы \(T\) имеет показательное распределение с математическим ожиданием (средним) \(\mu = 1000\) часов. В этом случае дисперсия показывательного распределения равна: \[ \sigma^2 = \mu^2 = (1000)^2 = 1000000 \] 2. **Находим стандартное отклонение.** Стандартное отклонение \(\sigma\) является квадратным корнем из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{1000000} = 1000 \] 3. **Распределение среднего значения.** Для выборки из 100 ламп среднее значение \(\bar{X}\) будет распределено нормально, согласно центральной предельной теореме. Это распределение будет иметь: - математическое ожидание: \(\mu_{\bar{X}} = \mu = 1000\) - стандартное отклонение: \(\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1000}{\sqrt{100}} = 100\) 4. **Преобразуем задачу в стандартную нормальную форму.** Теперь нам нужно найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп не менее 900 часов: \[ P(\bar{X} \geq 900) \] Сначала преобразуем это выражение с использованием стандартного нормального распределения \(Z\): \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}} \] Тогда для \(\bar{X} = 900\): \[ Z = \frac{900 - 1000}{100} = \frac{-100}{100} = -1 \] 5. **Находим вероятность.** Теперь нам нужно найти \(P(Z \geq -1)\). Используя таблицы стандартного нормального распределения или калькулятор, мы можем найти: \[ P(Z \leq -1) \approx 0.1587 \] Следовательно, \[ P(Z \geq -1) = 1 - P(Z \leq -1) = 1 - 0.1587 = 0.8413 \] 6. **Ответ.** Вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 часов, равна \(\approx 0.8413\), то есть 84.13%. Таким образом, мы получили окончательный ответ. Вы можете проверить данный результат, используя дополнительные методы или статистическое программное обеспечение для подтверждения.