Показать ответ
1 👍
Free Подробный ответ от Mozg.AI
Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.
### 1) Уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B, C.
**Шаг 1:** Найдем векторы AB и AC.
Вектор AB равен:
\[
\vec{AB} = B - A = (6 - 2; 3 - 3; -1 - 4) = (4; 0; -5)
\]
Вектор AC равен:
\[
\vec{AC} = C - A = (1 - 2; 6 - 3; -1 - 4) = (-1; 3; -5)
\]
**Шаг 2:** Найдем нормальный вектор плоскости, взяв векторное произведение векторов AB и AC:
\[
\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
4 & 0 & -5 \\
-1 & 3 & -5
\end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i}(0 \cdot (-5) - (-5) \cdot 3) - \hat{j}(4 \cdot (-5) - (-5) \cdot (-1)) + \hat{k}(4 \cdot 3 - 0 \cdot (-1))
\]
\[
= \hat{i}(0 + 15) - \hat{j}(-20 - 5) + \hat{k}(12)
\]
\[
= (15; 25; 12)
\]
**Шаг 3:** Теперь используем нормальный вектор \((15; 25; 12)\) и координаты точки A \((2; 3; 4)\) для написания уравнения плоскости:
\[
15(x - 2) + 25(y - 3) + 12(z - 4) = 0
\]
Раскроем скобки:
\[
15x - 30 + 25y - 75 + 12z - 48 = 0
\]
Упрощаем уравнение:
\[
15x + 25y + 12z - 153 = 0
\]
Итак, уравнение плоскости Q:
\[
15x + 25y + 12z = 153
\]
### 2) Каноническое уравнение прямой AB.
Дирекционный вектор для прямой AB уже вычислен:
\[
\vec{d} = (4; 0; -5)
\]
Каноническое уравнение прямой можно записать так:
\[
\begin{cases}
x = 2 + 4t \\
y = 3 + 0t \\
z = 4 - 5t
\end{cases}
\]
или в виде параметрического уравнения:
\[
(x, y, z) = (2, 3, 4) + t(4, 0, -5)
\]
### 3) Уравнение плоскости G, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB.
Плоскость G будет иметь нормальный вектор, совпадающий с направляющим вектором прямой AB:
\[
\vec{n} = (4; 0; -5)
\]
И используя точку D \((2, 3, 7)\), мы записываем уравнение плоскости G:
\[
4(x - 2) + 0(y - 3) - 5(z - 7) = 0
\]
Раскроем скобки:
\[
4x - 8 - 5z + 35 = 0
\]
Упрощаем:
\[
4x - 5z + 27 = 0
\]
Это уравнение плоскости G.
### 4) Расстояние от точки D до плоскости Q.
Формула для расстояния \(d\) от точки \((x_0, y_0, z_0)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) выглядит следующим образом:
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]
Для нашей плоскости \(Q: 15x + 25y + 12z - 153 = 0\) получаем:
- \(A = 15\), \(B = 25\), \(C = 12\), \(D = -153\)
- Для точки \(D(2, 3, 7)\):
\[
d = \frac{|15 \cdot 2 + 25 \cdot 3 + 12 \cdot 7 - 153|}{\sqrt{15^2 + 25^2 + 12^2}}
\]
\[
= \frac{|30 + 75 + 84 - 153|}{\sqrt{225 + 625 + 144}} = \frac{|36|}{\sqrt{994}} = \frac{36}{31.56} \approx 1.14
\]
Таким образом, расстояние от точки D до плоскости Q составляет примерно \(1.14\) единиц.
Это все необходимые расчеты и выводы по задаче.
30
Задай свой вопрос