Чтобы найти значения остальных тригонометрических функций, нужно использовать известное значение косинуса и тригонометрические тождества.
1. **Дано:** \( \cos t = \frac{7}{25} \), где \( 0 < t < \frac{\pi}{2} \). Это означает, что угол \( t \) находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительные.
2. **Находим синус:** Используем основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2 t + \cos^2 t = 1
\]
Подставим известное значение косинуса:
\[
\sin^2 t + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1
\]
Вычислим квадрат косинуса:
\[
\sin^2 t + \frac{49}{625} = 1
\]
Переносим \( \frac{49}{625} \) в правую часть:
\[
\sin^2 t = 1 - \frac{49}{625}
\]
Приводим к общему знаменателю:
\[
\sin^2 t = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}
\]
Теперь находим синус:
\[
\sin t = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}
\]
3. **Находим тангенс:**
Используем определение тангенса:
\[
\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}
\]
Подставляем значения:
\[
\tan t = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7}
\]
4. **Находим котангенс:**
Котангенс — это обратная величина тангенса:
\[
\cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{7}{24}
\]
5. **Находим секанс:**
Секанс — это обратная величина косинуса:
\[
\sec t = \frac{1}{\cos t} = \frac{25}{7}
\]
6. **Находим косеканс:**
Косеканс — это обратная величина синуса:
\[
\csc t = \frac{1}{\sin t} = \frac{25}{24}
\]
**Ответ:**
- \( \sin t = \frac{24}{25} \)
- \( \tan t = \frac{24}{7} \)
- \( \cot t = \frac{7}{24} \)
- \( \sec t = \frac{25}{7} \)
- \( \csc t = \frac{25}{24} \)
Таким образом, мы нашли значения всех тригонометрических функций, исходя из заданного значения косинуса.
11
Задай свой вопрос