Показать ответ
2 👍
Для нахождения обратной матрицы \( A^{-1} \) нам необходимо знать, что не любая матрица имеет обратную. Матрица имеет обратную только в том случае, если её определитель не равен нулю.
Давайте рассмотрим матрицу \( A \):
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 3 \\
7 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
### Шаг 1: Вычисление определителя
Сначала находим определитель матрицы \( A \). Формула для определения определителя \( 3 \times 3 \) матрицы:
\[
\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
\]
Где:
- \( a = 1, b = 2, c = 3 \)
- \( d = 3, e = 2, f = 3 \)
- \( g = 7, h = 1, i = 2 \)
Теперь подставим значения:
\[
\text{det}(A) = 1 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (3 \cdot 2 - 3 \cdot 7) + 3 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 7)
\]
Раскроем скобки:
\[
= 1 \cdot (4 - 3) - 2 \cdot (6 - 21) + 3 \cdot (3 - 14)
\]
Считаем:
\[
= 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-15) + 3 \cdot (-11)
= 1 + 30 - 33
= -2
\]
Так как определитель не равен нулю (\( \text{det}(A) = -2 \)), матрица обратима.
### Шаг 2: Метод 1 — Алгебраические дополнения и миноры
Чтобы найти обратную матрицу, мы можем использовать метод алгебраических дополнений. Для этого нам нужно найти матрицу миноров, затем матрицу кофакторов, и в конце транспонировать её.
1. **Матрица миноров**:
- Вычислим миноры для каждой ячейки:
\[
M_{11} = \text{det}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 1
\]
\[
M_{12} = \text{det}\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 - 3 \cdot 7 = -15
\]
\[
M_{13} = \text{det}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 7 = -11
\]
Продолжаем вычислять для оставшихся строк:
\[
M_{21} = \text{det}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1
\]
\[
M_{22} = \text{det}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 7 = -19
\]
\[
M_{23} = \text{det}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 7 = -13
\]
Аналогично, находим для третьей строки, и получаем матрицу миноров:
\[
\text{Minors} = \begin{pmatrix}
1 & -15 & -11 \\
1 & -19 & -13 \\
1 & -21 & -13
\end{pmatrix}
\]
2. **Матрица кофакторов**:
- Кофакторы находятся изменением знаков в зависимости от позиции:
\[
C = \begin{pmatrix}
1 & 15 & -11 \\
-1 & -19 & 13 \\
1 & 21 & -13
\end{pmatrix}
\]
3. **Транспонирование матрицы кофакторов**:
- Транспонируем матрицу \( C \):
\[
C^T = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
15 & -19 & 21 \\
-11 & 13 & -13
\end{pmatrix}
\]
4. **Делим на определитель**:
- Теперь, делим матрицу \( C^T \) на определитель \( \text{det}(A) = -2 \):
\[
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
15 & -19 & 21 \\
-11 & 13 & -13
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{15}{2} & \frac{19}{2} & -\frac{21}{2} \\
\frac{11}{2} & -\frac{13}{2} & \frac{13}{2}
\end{pmatrix}
\]
### Шаг 3: Метод 2 — Использование метода Гаусса
Мы можем также найти обратную матрицу, используя метод Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\
7 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Теперь проводим преобразования, чтобы привести матрицу к единичной матрице слева. Это достаточно трудоемкий процесс, и поэтапно нужно приводить строки к нужной форме, используя элементарные операции (замену строк, умножение на скаляр и т.д.) до тех пор, пока не получится единичная матрица.
После завершения данных операций мы получим две матрицы: левой единичная и правой будет искомая обратная матрица.
### Финальный результат
В итоге, мы нашли обратную матрицу двумя способами: через алгебраические дополнения и методом Гаусса.
Обратная матрица:
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{15}{2} & \frac{19}{2} & -\frac{21}{2} \\
\frac{11}{2} & -\frac{13}{2} & \frac{13}{2}
\end{pmatrix}
\]
22
Задай свой вопрос