Дано значение косинуса: \(\cos(t) = \frac{7}{25}\) и условие, что \(0 < t < \frac{\pi}{2}\). Мы можем использовать основное тригонометрическое соотношение для нахождения остальных тригонометрических функций.
1. **Найти синус**:
По основному тригонометрическому соотношению мы имеем:
\[
\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1
\]
Подставим известное значение косинуса:
\[
\sin^2(t) + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1
\]
Посчитаем \(\left(\frac{7}{25}\right)^2\):
\[
\left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{49}{625}
\]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[
\sin^2(t) + \frac{49}{625} = 1
\]
Переносим \(\frac{49}{625}\) на другую сторону:
\[
\sin^2(t) = 1 - \frac{49}{625}
\]
Важно представить 1 как дробь с тем же знаменателем:
\[
\sin^2(t) = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}
\]
Теперь находим синус:
\[
\sin(t) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}
\]
Поскольку \(t\) находится в первом квадранте, синус положителен.
2. **Найти тангенс**:
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:
\[
\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7}
\]
3. **Найти котангенс**:
Котангенс — это обратная величина тангенса:
\[
\cot(t) = \frac{1}{\tan(t)} = \frac{7}{24}
\]
4. **Найти секанс**:
Секанс — это обратная величина косинуса:
\[
\sec(t) = \frac{1}{\cos(t)} = \frac{25}{7}
\]
5. **Найти кошсеканс**:
Кошексан — это обратная величина синуса:
\[
\csc(t) = \frac{1}{\sin(t)} = \frac{25}{24}
\]
Теперь подводим итог:
- \(\sin(t) = \frac{24}{25}\)
- \(\cos(t) = \frac{7}{25}\)
- \(\tan(t) = \frac{24}{7}\)
- \(\cot(t) = \frac{7}{24}\)
- \(\sec(t) = \frac{25}{7}\)
- \(\csc(t) = \frac{25}{24}\)
Таким образом, все тригонометрические функции найдены.
9
Задай свой вопрос