Случайные величины X и Y независимы.Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин Z=3X+5Y+1, если М(Х)=5, M(Y)=3, D(X)=4, D(Y)=6.

Чтобы найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины \( Z = 3X + 5Y + 1 \), воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии. ### Шаг 1: Найдем математическое ожидание \( M(Z) \) Свойство математического ожидания для линейной комбинации случайных величин гласит: \[ M(aX + bY + c) = aM(X) + bM(Y) + c \] где - \( a = 3 \) - \( b = 5 \) - \( c = 1 \) Подставим известные значения математического ожидания: \[ M(X) = 5, \quad M(Y) = 3 \] Теперь вычислим \( M(Z) \): \[ M(Z) = 3M(X) + 5M(Y) + 1 = 3 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 1 \] \[ M(Z) = 15 + 15 + 1 = 31 \] ### Шаг 2: Найдем дисперсию \( D(Z) \) Свойство дисперсии для независимых случайных величин гласит: \[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) \] Также помним, что константа \( c \) не влияет на дисперсию. Поэтому: \[ D(Z) = D(3X + 5Y) = 3^2D(X) + 5^2D(Y) \] Подставим известные значения дисперсии: \[ D(X) = 4, \quad D(Y) = 6 \] Вычислим \( D(Z) \): \[ D(Z) = 3^2 \cdot 4 + 5^2 \cdot 6 \] \[ D(Z) = 9 \cdot 4 + 25 \cdot 6 \] \[ D(Z) = 36 + 150 = 186 \] ### Ответ Итак, математическое ожидание и дисперсия случайной величины \( Z \): \[ M(Z) = 31, \quad D(Z) = 186 \]

Случайные величины, математическое ожидание и дисперсия — это важные концепции в теории вероятностей и статистике. ### Математическое ожидание случайной величины \( X \) — это среднее значение, которое мы ожидаем получить при большом числе повторений опыта. Если \( X \) — дискретная случайная величина с вероятностями \( p_i \), тогда: \[ M(X) = \sum_{i} x_i p_i \] где \( x_i \) — возможные значения \( X \), а \( p_i \) — их соответствующие вероятности. Если \( X \) непрерывна, тогда: \[ M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \] где \( f(x) \) — функция плотности вероятности. ### Дисперсия случайной величины \( X \) — это мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Она определяется как: \[ D(X) = M((X - M(X))^2) \] Также для линейной комбинации случайных величин, если \( X \) и \( Y \) независимы, используется формула: \[ D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) \] где \( a \) и \( b \) — коэффициенты линейной комбинации. ### Примерные задачи с решением Случайные величины \( X \) и \( Y \) независимы. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины \( Z = 2X + 4Y + 3 \), если \( M(X) = 6 \), \( M(Y) = 2 \), \( D(X) = 5 \), \( D(Y) = 3 \). 1. Находим математическое ожидание \( M(Z) \): \[ M(Z) = 2M(X) + 4M(Y) + 3 = 2 \cdot 6 + 4 \cdot 2 + 3 = 12 + 8 + 3 = 23. \] 2. Находим дисперсию \( D(Z) \): \[ D(Z) = 2^2D(X) + 4^2D(Y) = 4 \cdot 5 + 16 \cdot 3 = 20 + 48 = 68. \] Таким образом, \( M(Z) = 23 \), \( D(Z) = 68 \). --- Случайные величины \( A \) и \( B \) независимы. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины \( W = 7A - 2B + 4 \), если \( M(A) = 10 \), \( M(B) = 5 \), \( D(A) = 9 \), \( D(B) = 4 \). 1. Находим математическое ожидание \( M(W) \): \[ M(W) = 7M(A) - 2M(B) + 4 = 7 \cdot 10 - 2 \cdot 5 + 4 = 70 - 10 + 4 = 64. \] 2. Находим дисперсию \( D(W) \): \[ D(W) = 7^2D(A) + (-2)^2D(B) = 49 \cdot 9 + 4 \cdot 4 = 441 + 16 = 457. \] Таким образом, \( M(W) = 64 \), \( D(W) = 457 \). --- Случайные величины \( P \) и \( Q \) независимы. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины \( R = 5P - 3Q + 2 \), если \( M(P) = 8 \), \( M(Q) = 4 \), \( D(P) = 6 \), \( D(Q) = 5 \).