Последовательная R - L цепь подключается к источнику синусоидального напряжения. Определить закон изменения i(t) и uL(t) в переходном режиме.
e(t)=Em*sin(wt+ф)

В последовательной R-L цепи, подключенной к источнику синусоидального напряжения, учитывается наличие резистора (R) и индуктивности (L). Когда цепь подключается к источнику, происходит переходный процесс, в котором ток и напряжение изменяются во времени. ### 1. Уравнение цепи Сначала разберем, что такое у нас есть. У нас есть источник синусоидального напряжения: \[ e(t) = E_m \cdot \sin(\omega t + \phi) \] где: - \( E_m \) — амплитуда напряжения, - \( \omega \) — угловая частота (связана с частотой f через \( \omega = 2\pi f \)), - \( \phi \) — фазовый сдвиг. Согласно законам Ома и Кирхгофа, можем записать уравнение для нашей цепи: \[ e(t) = u_R(t) + u_L(t) \] Где: - \( u_R(t) = i(t) \cdot R \) — напряжение на резисторе, - \( u_L(t) = L \cdot \frac{di(t)}{dt} \) — напряжение на индуктивности. ### 2. Уравнение дифференциального баланса Подставим эти выражения в уравнение цепи: \[ E_m \cdot \sin(\omega t + \phi) = i(t) \cdot R + L \cdot \frac{di(t)}{dt} \] Это уравнение можно переписать как: \[ L \cdot \frac{di(t)}{dt} + R \cdot i(t) = E_m \cdot \sin(\omega t + \phi) \] ### 3. Решение уравнения Это дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы решить его, мы ищем общее решение, состоящее из решения однородной части (где правая часть равна 0) и частного решения. #### 3.1. Однородная часть: Решаем уравнение: \[ L \cdot \frac{di(t)}{dt} + R \cdot i(t) = 0 \] Это уравнение имеет вид: \[ \frac{di(t)}{i(t)} = -\frac{R}{L} dt \] Интегрируя, получаем: \[ \ln(i(t)) = -\frac{R}{L}t + C \] Где \( C \) — постоянная интегрирования. Отсюда: \[ i_h(t) = C \cdot e^{-\frac{R}{L}t} \] #### 3.2. Частное решение: Вариант частного решения можно взять в виде: \[ i_p(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi) + B \cdot \cos(\omega t + \phi) \] Подставим это выражение в уравнение и найдем коэффициенты \( A \) и \( B \). Для полного решения: \[ i(t) = i_h(t) + i_p(t) \] ### 4. Закон изменения тока В итоге, закон изменения тока \( i(t) \) в переходном режиме можно записать как: \[ i(t) = C \cdot e^{-\frac{R}{L}t} + A \cdot \sin(\omega t + \phi) + B \cdot \cos(\omega t + \phi) \] ### 5. Закон изменения напряжения на индуктивности Теперь найдем \( u_L(t) \): \[ u_L(t) = L \cdot \frac{di(t)}{dt} \] Вычисляем производную \( i(t) \) и подставляем её в это уравнение. ### Заключение Таким образом, у нас есть закон изменения тока \( i(t) \) и закон изменения напряжения на индуктивности \( u_L(t) \) в переходном режиме. Стоит помнить, что в переходном процессе ток и напряжение будут меняться, постепенно достигая установившегося режима. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо более подробно разобрать какой-то момент — спрашивайте!