Давайте решим это дифференциальное уравнение шаг за шагом.
Исходное уравнение:
\[
\frac{dy}{dx} + \frac{2y}{x} = \frac{1}{x^2}
\]
Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Мы можем решить его, найдя интегрирующий множитель \( \mu(x) \).
### Шаг 1: Найти интегрирующий множитель
Интегрирующий множитель \( \mu(x) \) определяется как:
\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}
\]
где \( P(x) = \frac{2}{x} \).
Вычислим интеграл:
\[
\int P(x) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| = \ln |x|^2
\]
Таким образом,
\[
\mu(x) = e^{\ln |x|^2} = x^2
\]
### Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель
Умножим все элементы исходного уравнения на \( x^2 \):
\[
x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = 1
\]
### Шаг 3: Перепишем левую часть
Теперь заметим, что левая часть уравнения может быть записана как производная:
\[
\frac{d}{dx}(x^2y) = 1
\]
### Шаг 4: Интегрируем обе стороны
Интегрируем обе стороны:
\[
\int \frac{d}{dx}(x^2y) \, dx = \int 1 \, dx
\]
Это дает нам:
\[
x^2y = x + C
\]
где \( C \) — произвольная постоянная.
### Шаг 5: Найдем \( y \)
Теперь выражаем \( y \):
\[
y = \frac{x + C}{x^2}
\]
### Шаг 6: Найдем постоянную \( C \) с помощью начальных условий
Теперь используем начальное условие \( y(2) = 1 \):
\[
1 = \frac{2 + C}{2^2}
\]
Это упрощается до:
\[
1 = \frac{2 + C}{4} \\
4 = 2 + C \\
C = 2
\]
### Шаг 7: Подставим \( C \) обратно в уравнение
Таким образом, окончательное решение:
\[
y = \frac{x + 2}{x^2}
\]
### Шаг 8: Проверка решения
Проверим, удовлетворяет ли это решение начальному условию и исходному уравнению. Подставим \( x = 2 \):
\[
y = \frac{2 + 2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1
\]
Теперь подставим \( y = \frac{x + 2}{x^2} \) обратно в исходное уравнение и проверим, действительно ли оно выполняется.
Итак, окончательный ответ:
\[
y = \frac{x + 2}{x^2}
\]
9
Задай свой вопрос