Для вычисления интеграла \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin^2(x)}\) воспользуемся некоторыми свойствами тригонометрических функций и методами вычисления интегралов.
1. **Преобразование интеграла**:
Начнем с выражения \(1 + \sin^2(x)\). Мы можем использовать то, что \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\) (формула понижения степени) для преобразования выражения:
\[
1 + \sin^2(x) = 1 + \frac{1 - \cos(2x)}{2} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{\cos(2x)}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\cos(2x)}{2}
\]
Теперь мы можем записать интеграл как:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin^2(x)} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 \, dx}{3 - \cos(2x)}
\]
2. **Сделаем замену переменной**:
Будем использовать подстановку \(u = 2x\), тогда \(du = 2dx\) или \(dx = \frac{du}{2}\). Также изменим пределы интегрирования: когда \(x = 0\), \(u = 0\); когда \(x = \frac{\pi}{4}\), \(u = \frac{\pi}{2}\).
Теперь интеграл станет:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3 - \cos(u)} \, du
\]
3. **Вычисление интеграла**:
Теперь у нас есть интеграл \(\int \frac{1}{3 - \cos(u)} \, du\). Для его решения можем воспользоваться известной формулой для интеграла вида \(\int \frac{1}{a + b \cos(x)} \, dx\):
\[
\int \frac{dx}{a + b \cos(x)} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b^2}} \arctan\left(\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a + b \tan\left(\frac{x}{2}\right)}\right) + C
\]
В нашем случае \(a = 3\) и \(b = -1\). Сначала найдем \(a^2 - b^2\):
\[
3^2 - (-1)^2 = 9 - 1 = 8
\]
\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
Таким образом, интеграл имеет вид:
\[
\frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\sqrt{8}}{3 - (-1) \tan\left(\frac{u}{2}\right)}\right) + C = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{3 + \tan\left(\frac{u}{2}\right)}\right) + C
\]
4. **Границы интегрирования**:
Подставим пределы интегрирования от 0 до \(\frac{\pi}{2}\):
\[
\frac{1}{2\sqrt{2}} \left[\arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{3 + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right) - \arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{3 + \tan(0)}\right)\right]
\]
Зная, что \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\) и \(\tan(0) = 0\):
- \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow 3 + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4\),
- \(\tan(0) = 0 \Rightarrow 3 + \tan(0) = 3\).
Подставим:
\[
= \frac{1}{2\sqrt{2}} \left[\arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{4}\right) - \arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\right]
\]
5. **Вычисление арктангенса**:
Используя тригонометрические значения, \(\arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) будет соответствовать углу, а \(\arctan\) для остальных значений может быть вычислен обычно через таблицу.
6. **Итоговое значение**:
Полученное значение после подстановки в окончательную формулу даст нам результат. Можно оставить окончательное значение в виде:
\[
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin^2(x)} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left[\arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\right]
\]
Это и есть искомый интеграл.
15
Задай свой вопрос