пользуясь таблицей интегралов и их свойствами с помощью подходящих подстановок вычислите интегралы П/4 интеграл 0 dx/1+sin^2(x)=

Для вычисления интеграла ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{dx}{1+{\sin }^2(x)}$ воспользуемся некоторыми свойствами тригонометрических функций и методами вычисления интегралов. 1. **Преобразование интеграла**: Начнем с выражения $1+{\sin }^2(x)$. Мы можем использовать то, что ${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$ (формула понижения степени) для преобразования выражения: $$1+{\sin }^2(x)=1+\frac{1-\cos (2x)}{2}=1+\frac{1}{2}-\frac{\cos (2x)}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos (2x)}{2}$$ Теперь мы можем записать интеграл как: $${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{dx}{1+{\sin }^2(x)}={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{2dx}{3-\cos (2x)}$$ 2. **Сделаем замену переменной**: Будем использовать подстановку $u=2x$, тогда $du=2dx$ или $dx=\frac{du}{2}$. Также изменим пределы интегрирования: когда $x=0$, $u=0$; когда $x=\frac{\pi }{4}$, $u=\frac{\pi }{2}$. Теперь интеграл станет: $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{3-\cos (u)}du$$ 3. **Вычисление интеграла**: Теперь у нас есть интеграл $\int \frac{1}{3-\cos (u)}du$. Для его решения можем воспользоваться известной формулой для интеграла вида $\int \frac{1}{a+b\cos (x)}dx$: $$\int \frac{dx}{a+b\cos (x)}=\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan \left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b\tan \left(\frac{x}{2}\right)}\right)+C$$ В нашем случае $a=3$ и $b=-1$. Сначала найдем $a^2-b^2$: $$3^2-(-1{)}^2=9-1=8$$ $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Таким образом, интеграл имеет вид: $$\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan \left(\frac{\sqrt{8}}{3-(-1)\tan \left(\frac{u}{2}\right)}\right)+C=\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan \left(\frac{2\sqrt{2}}{3+\tan \left(\frac{u}{2}\right)}\right)+C$$ 4. **Границы интегрирования**: Подставим пределы интегрирования от 0 до $\frac{\pi }{2}$: $$\frac{1}{2\sqrt{2}}[\arctan \left(\frac{2\sqrt{2}}{3+\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)}\right)-\arctan \left(\frac{2\sqrt{2}}{3+\tan (0)}\right)]$$ Зная, что $\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$ и $\tan (0)=0$: - $\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1\Rightarrow 3+\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=4$, - $\tan (0)=0\Rightarrow 3+\tan (0)=3$. Подставим: $$=\frac{1}{2\sqrt{2}}[\arctan \left(\frac{2\sqrt{2}}{4}\right)-\arctan \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)]$$ 5. **Вычисление арктангенса**: Используя тригонометрические значения, $\arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ будет соответствовать углу, а $\arctan$ для остальных значений может быть вычислен обычно через таблицу. 6. **Итоговое значение**: Полученное значение после подстановки в окончательную формулу даст нам результат. Можно оставить окончательное значение в виде: $${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{dx}{1+{\sin }^2(x)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}[\arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arctan \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)]$$ Это и есть искомый интеграл.