Определить количество патронов для поражения цели с вероятностью 0,96, если попадание и промах при каждом отдельном выстреле равновозможны.

Для решения задачи определим количество патронов \( n \), необходимых для достижения вероятности попадания в цель с вероятностью 0,96, если вероятность попадания и промаха при каждом выстреле равновероятны (то есть \( p = 0,5 \) для попадания и \( q = 0,5 \) для промаха). ### Шаг 1: Определяем вероятность промаха Вероятность того, что цель не будет поражена ни одним выстрелом из \( n \) выстрелов: \[ P(\text{промах} за } n \text{ выстрелов}) = q^n = (0,5)^n \] ### Шаг 2: Находим вероятность попадания хотя бы раз Вероятность того, что мы попадем в цель хотя бы один раз за \( n \) выстрелов: \[ P(\text{попадание хотя бы раз}) = 1 - P(\text{промах за } n \text{ выстрелов}) = 1 - (0,5)^n \] ### Шаг 3: Устанавливаем равенство Мы хотим, чтобы вероятность попадания была равна 0,96: \[ 1 - (0,5)^n = 0,96 \] ### Шаг 4: Решаем уравнение Переписываем уравнение: \[ (0,5)^n = 1 - 0,96 = 0,04 \] Теперь применим логарифмы для решения уравнения. Для этого возьмем логарифм обеих сторон: \[ \log((0,5)^n) = \log(0,04) \] Используем свойство логарифмов, которое гласит, что \( \log(a^b) = b \cdot \log(a) \): \[ n \cdot \log(0,5) = \log(0,04) \] Теперь решим для \( n \): \[ n = \frac{\log(0,04)}{\log(0,5)} \] ### Шаг 5: Вычисляем логарифмы Теперь найдем значения логарифмов. \[ \log(0,04) \approx -1,39794 \quad \text{и} \quad \log(0,5) \approx -0,30103 \] ### Шаг 6: Подставляем значения в формулу Подставим в формулу: \[ n = \frac{-1,39794}{-0,30103} \approx 4,64 \] ### Шаг 7: Округляем Так как количество патронов должно быть целым числом, мы округляем в большую сторону: \[ n = 5 \] ### Проверка Проверим вероятность попадания с 5 выстрелами: \[ P(\text{попадание хотя бы раз}) = 1 - (0,5)^5 = 1 - 0,03125 = 0,96875 \] Это больше 0,96. Проверим для 4 выстрелов: \[ P(\text{попадание хотя бы раз при } n=4) = 1 - (0,5)^4 = 1 - 0,0625 = 0,9375 \] Это меньше 0,96. Таким образом, минимальное количество патронов, необходимое для достижения вероятности попадания в цель с вероятностью 0,96, составляет патронов.

При решении задач, связанных с вероятностью, применяются несколько основных математических понятий: 1. : это мера того, какова вероятность наступления определенного события. Она принимается в диапазоне от 0 до 1, где 0 — это невозможное событие, а 1 — это событие, которое произойдет с гарантией. - : это результат или группа результатов, которые мы хотим изучить или о которых делаем предположение. - : число, показывающее, насколько оно вероятно. 2. : это события, которые не влияют друг на друга. Например, результаты бросков двух кубиков не зависят друг от друга. 3. : если события A и B независимы, то: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] 4. : для n независимых попыток (в нашем случае — выстрелов), вероятность хотя бы одного успеха может быть выражена как: \[ P(\text{хотя бы один успех}) = 1 - P(\text{нет успеха}) \] где \( P(\text{нет успеха}) = (1 - P(\text{успех}))^n \) Теперь перейдем к практическим задачам. ### Примерные задачи с решением Определите количество бросков монеты, чтобы вероятность выпадения хотя бы одной решки была равна 0,85, если при каждом броске шансы для орла и решки равны. 1. Установим вероятность выпадения решки \( p = 0,5 \) и промаха (выпадения орла) \( q = 0,5 \). 2. Определим вероятность того, что не выпадет решка ни разу за n бросков: \[ P(\text{промах за } n) = (0,5)^n \] 3. Установим равенство: \[ 1 - (0,5)^n = 0,85 \] 4. Решим уравнение: \[ (0,5)^n = 0,15 \] 5. Возьмем логарифм: \[ n \cdot \log(0,5) = \log(0,15) \] 6. Найдем \( n \): \[ n = \frac{\log(0,15)}{\log(0,5)} \approx 2,74 \] 7. Округляем до целого числа, получаем \( n = 3 \). Сколько раз нужно бросить игральный кубик, чтобы вероятность того, что хотя бы раз выпадет шестерка, была равна 0,90? 1. Вероятность выпадения шестерки при одном броске \( p = \frac{1}{6} \), вероятность не выпадения шестерки \( q = \frac{5}{6} \). 2. Определим вероятность того, что шестерка не выпадет ни разу за n бросков: \[ P(\text{промах за } n) = \left(\frac{5}{6}\right)^n \] 3. Установим равенство: \[ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n = 0,90 \] 4. Решим уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^n = 0,10 \] 5. Возьмем логарифм: \[ n \cdot \log\left(\frac{5}{6}\right) = \log(0,10) \] 6. Найдем \( n \): \[ n = \frac{\log(0,10)}{\log\left(\frac{5}{6}\right)} \approx 12,41 \] 7. Округляем до целого числа, получаем \( n = 13 \). ### Сколько патронов нужно выстрелить, чтобы вероятность попадания в цель была равна 0,92, если попадание и промахы равновероятны? Решите самостоятельно, используя шаги, описанные выше.