разложить в ряд лорана f(z) = 3z/(z^2+z-6) 3<|z|< беск

Для разложения функции \( f(z) = \frac{3z}{z^2 + z - 6} \) в ряд Лорана в области \( 3 < |z| < \infty \), сначала упростим выражение. 1. **Факторизация знаменателя**: Найдем корни квадратного уравнения \( z^2 + z - 6 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Корни равны: \[ z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \] \[ z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \] Таким образом, знаменатель можно факторизовать как: \[ z^2 + z - 6 = (z - 2)(z + 3) \] 2. **Переписывание функции**: Теперь перепишем \( f(z) \): \[ f(z) = \frac{3z}{(z - 2)(z + 3)} \] 3. **Разложение на простейшие дроби**: Разложим дробь \( f(z) \) на простейшие дроби: \[ \frac{3z}{(z - 2)(z + 3)} = \frac{A}{z - 2} + \frac{B}{z + 3} \] Умножаем обе стороны на знаменатель \( (z - 2)(z + 3) \): \[ 3z = A(z + 3) + B(z - 2) \] 4. **Нахождение коэффициентов \( A \) и \( B \)**: Раскроем скобки: \[ 3z = Az + 3A + Bz - 2B \] Объединим подобные члены: \[ 3z = (A + B)z + (3A - 2B) \] Сравним коэффициенты: \[ A + B = 3 \quad (1) \] \[ 3A - 2B = 0 \quad (2) \] Из уравнения (2) выразим \( A \): \[ 3A = 2B \implies A = \frac{2}{3}B \] Подставим \( A \) в уравнение (1): \[ \frac{2}{3}B + B = 3 \implies \frac{5}{3}B = 3 \implies B = \frac{9}{5} \] Теперь найдём \( A \): \[ A = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{6}{5} \] Таким образом, мы получили: \[ f(z) = \frac{6/5}{z - 2} + \frac{9/5}{z + 3} \] 5. **Разложение в ряд Лорана**: Теперь разложим каждую из дробей в ряд Лорана. Мы рассматриваем область \( 3 < |z| < \infty \), в которой \( z + 3 \) положителен и \( |z| \) достаточно велико, чтобы разложение было корректным. Для дроби \( \frac{6/5}{z - 2} \): \[ \frac{6/5}{z - 2} = \frac{6/5}{z(1 - \frac{2}{z})} = \frac{6/5}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{z}} = \frac{6/5}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{2}{z} \right)^n = \frac{6/5}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{z^n} \] \[ = \frac{6}{5z} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{z^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^n}{5z^{n+1}} \] Для дроби \( \frac{9/5}{z + 3} \): \[ \frac{9/5}{z + 3} = \frac{9/5}{z(1 + \frac{3}{z})} = \frac{9/5}{z} \cdot \frac{1}{1 + \frac{3}{z}} = \frac{9/5}{z} \sum_{m=0}^{\infty} \left(-\frac{3}{z}\right)^m \] \[ = \frac{9}{5z} \sum_{m=0}^{\infty} \left(-\frac{3}{z}\right)^m = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{9 \cdot (-3)^m}{5z^{m+1}} \] 6. **Суммирование рядов**: Объединяем полученные ряды: \[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{6 \cdot 2^n}{5z^{n+1}} + \sum_{m=0}^{\infty} \frac{9 \cdot (-3)^m}{5z^{m+1}} \] Обозначим общее выражение для ряда Лорана: \[ f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{6 \cdot 2^k + 9 \cdot (-3)^k}{5z^{k+1}} \right) \] Это и будет разложение функции \( f(z) \) в ряд Лорана в области \( 3 < |z| < \infty \).