Найдите производные функции y=³√3x-5

Чтобы найти производную функции \( y = \sqrt[3]{3x - 5} \), будем использовать правила дифференцирования. Начнем шаг за шагом. 1. **Переписывание функции**: Чтобы упростить вычисление производной, преобразуем корень в степень: \[ y = (3x - 5)^{1/3} \] 2. **Использование правила производной**: Для функции вида \( y = u^n \) (где \( u \) — это функция от \( x \), а \( n \) — степень) производная вычисляется по формуле: \[ y' = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx} \] В нашем случае \( u = 3x - 5 \) и \( n = \frac{1}{3} \). 3. **Нахождение производной внутренней функции**: Производная \( u = 3x - 5 \): \[ \frac{du}{dx} = 3 \] 4. **Подставляем в формулу производной**: Теперь можем подставить значения в правило производной: \[ y' = \frac{1}{3} \cdot (3x - 5)^{1/3 - 1} \cdot 3 \] 5. **Упрощение выражения**: Упростим: - Сначала вычислим степень: \( \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3} \). - Теперь подставим это в выражение: \[ y' = \frac{1}{3} \cdot (3x - 5)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 \] - Умножаем \( \frac{1}{3} \) на \( 3 \): \[ y' = (3x - 5)^{-\frac{2}{3}} \] 6. **Запись окончательного ответа**: Записываем производную более привычным видом: \[ y' = \frac{1}{(3x - 5)^{\frac{2}{3}}} \] 7. **Проверка результата**: Мы можем проверить результат, используя альтернативный метод, например, численно подставив значения \( x \) и сравнив производные. Однако, этот шаг можно пропустить, если уверены в правильности каждого этапа. Итак, окончательный ответ для производной функции \( y = \sqrt[3]{3x - 5} \): \[ y' = \frac{1}{(3x - 5)^{\frac{2}{3}}} \]