исследуйте функцию с помощью производной найдите промежутки возрастания(убывания), точки экстремума, промежутки выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба. постройте эскиз графика функции y=x^3+6x^2+9х

Рассмотрим функцию \( y = x^3 + 6x^2 + 9x \) и исследуем ее с помощью производной. ### Шаг 1: Найдем первую производную Для нахождения промежутков возрастания и убывания необходимо найти первую производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 + 9x) = 3x^2 + 12x + 9 \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю: \[ 3x^2 + 12x + 9 = 0 \] Делим уравнение на 3: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] Теперь мы можем факторизовать это квадратное уравнение: \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] Таким образом, получаем критические точки: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \] ### Шаг 3: Определим промежутки возрастания и убывания Теперь исследуем знаки первой производной на промежутках между критическими точками: \( (-\infty, -3), (-3, -1), (-1, +\infty) \). 1. **Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \))**: \[ y'(-4) = 3(-4)^2 + 12(-4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 \quad (> 0) \] Функция возрастает. 2. **Для \( -3 < x < -1 \) (например, \( x = -2 \))**: \[ y'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \quad (< 0) \] Функция убывает. 3. **Для \( x > -1 \) (например, \( x = 0 \))**: \[ y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 9 = 9 \quad (> 0) \] Функция возрастает. Итак, функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (-1, +\infty) \) и убывает на интервале \( (-3, -1) \). ### Шаг 4: Найдем точки экстремума Точки экстремума соответствуют критическим точкам: - Минимум в \( x = -3 \) (функция убывает, а затем возрастает). - Максимум в \( x = -1 \) (функция возрастает, а затем убывает). ### Шаг 5: Найдем вторую производную Теперь найдем вторую производную, чтобы исследовать выпуклость и вогнутость: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 12x + 9) = 6x + 12 \] ### Шаг 6: Найдем точки перегиба Приравняем вторую производную к нулю: \[ 6x + 12 = 0 \implies x = -2 \] Теперь определим знаки второй производной на интервалах: \( (-\infty, -2) \) и \( (-2, +\infty) \). 1. **Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \))**: \[ y''(-3) = 6(-3) + 12 = -6 \quad (< 0) \] Функция вогнута. 2. **Для \( x > -2 \) (например, \( x = 0 \))**: \[ y''(0) = 6(0) + 12 = 12 \quad (> 0) \] Функция выпукла. Таким образом, функция вогнута на интервале \( (-\infty, -2) \) и выпукла на интервале \( (-2, +\infty) \). ### Шаг 7: Подводим итог 1. Промежутки возрастания: \( (-\infty, -3) \), \( (-1, +\infty) \) 2. Промежутки убывания: \( (-3, -1) \) 3. Точки экстремума: минимум в \( x = -3 \), максимум в \( x = -1 \) 4. Точка перегиба: \( x = -2 \) 5. Выпуклость: вогнутость на \( (-\infty, -2) \), выпуклость на \( (-2, +\infty) \) ### Шаг 8: Эскиз графика функции 1. Находим значения функции в экстремумах и точке перегиба: - В \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0 \] - В \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4 \] - В \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 9(-2) = -8 + 24 - 18 = -2 \] Рисуем график, делая акцент на найденные значения и свойства функций. Помните, что на интервале \( (-\infty, -3) \) график будет подниматься, на \( (-3, -1) \) — опускаться, затем снова подниматься на \( (-1, +\infty) \). Таким образом, вы успешно исследовали функцию \( y = x^3 + 6x^2 + 9x \).