y = e^(2x+3) * (x² - x + 1/2) найти производную

Для нахождения производной функции \( y = e^{(2x+3)} \cdot \left(x^2 - x + \frac{1}{2}\right) \) воспользуемся правилом произведения и правилом дифференцирования экспоненты. ### Шаг 1: Определение компонентов для правила произведения Наша функция представлена в виде произведения двух функций: 1. \( u(x) = e^{(2x+3)} \) 2. \( v(x) = x^2 - x + \frac{1}{2} \) Правило произведения гласит: \[ (y = u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \] ### Шаг 2: Нахождение производной \( u \) Для функции \( u(x) = e^{(2x+3)} \) используем правило дифференцирования экспоненты: \[ u' = e^{g(x)} \cdot g'(x) \] где \( g(x) = 2x + 3 \). Теперь находим производную \( g'(x) \): \[ g'(x) = 2 \] Следовательно, \[ u' = e^{(2x+3)} \cdot 2 = 2e^{(2x+3)} \] ### Шаг 3: Нахождение производной \( v \) Теперь найдем производную \( v(x) = x^2 - x + \frac{1}{2} \): \[ v' = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\right) \] Выводим производные: \[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(x) = 1, \quad \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \] Таким образом, \[ v' = 2x - 1 \] ### Шаг 4: Применение правила произведения Теперь подставим \( u', u, v \) и \( v' \) в формулу правила произведения: \[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Подставим значения: \[ y' = (2e^{(2x+3)}) \cdot (x^2 - x + \frac{1}{2}) + (e^{(2x+3)}) \cdot (2x - 1) \] ### Шаг 5: Упрощение выражения Теперь упростим результат: \[ y' = 2e^{(2x+3)} (x^2 - x + \frac{1}{2}) + e^{(2x+3)} (2x - 1) \] Вынесем \( e^{(2x+3)} \) за скобки: \[ y' = e^{(2x+3)} \left( 2(x^2 - x + \frac{1}{2}) + (2x - 1) \right) \] ### Шаг 6: Упрощение в скобках Теперь упростим выражение в скобках: \[ 2(x^2 - x + \frac{1}{2}) = 2x^2 - 2x + 1 \] Теперь добавим \( (2x - 1) \): \[ 2x^2 - 2x + 1 + 2x - 1 = 2x^2 + 0x + 0 = 2x^2 \] ### Шаг 7: Финальный ответ В итоге, \[ y' = e^{(2x+3)} \cdot 2x^2 \] Таким образом, ответ: \[ y' = 2x^2 e^{(2x+3)} \]