Определи сумму C9^0+4C9^1+4^2C9^2+4^9C9^9

Давайте решим задачу: нужно найти сумму \(C^9_0 + 4C^9_1 + 4^2C^9_2 + 4^3C^9_3 + 4^4C^9_4 + 4^5C^9_5 + 4^6C^9_6 + 4^7C^9_7 + 4^8C^9_8 + 4^9C^9_9\), где \(C^n_k\) обозначает биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\). ### Шаг 1: Запись стандартной суммы Эта сумма может быть записана, используя формулу биномиального распределения: \[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C^n_k \cdot x^k \cdot y^{n-k} \] В нашем случае, положим \(x = 4\), \(y = 1\) и \(n = 9\). ### Шаг 2: Применение биномиальной теоремы Подставим значения: \[ (4 + 1)^9 = \sum_{k=0}^{9} C^9_k \cdot 4^k \cdot 1^{9-k} \] ### Шаг 3: Упрощение левой части Левая часть: \[ (4 + 1)^9 = 5^9 \] ### Шаг 4: Распись суммы Таким образом, получаем: \[ 5^9 = \sum_{k=0}^{9} C^9_k \cdot 4^k \] Наша исходная задача является именно этой формой: \[ C^9_0 + 4C^9_1 + 4^2C^9_2 + 4^3C^9_3 + 4^4C^9_4 + 4^5C^9_5 + 4^6C^9_6 + 4^7C^9_7 + 4^8C^9_8 + 4^9C^9_9 = 5^9 \] ### Шаг 5: Вычисление 5^9 Теперь вычислим \(5^9\): \[ 5^9 = 1953125 \] ### Ответ Таким образом, сумма \(C^9_0 + 4C^9_1 + 4^2C^9_2 + 4^3C^9_3 + 4^4C^9_4 + 4^5C^9_5 + 4^6C^9_6 + 4^7C^9_7 + 4^8C^9_8 + 4^9C^9_9\) равна \(1953125\).

Биномиальная теорема — это фундаментальный результат в алгебре, который описывает разложение степеней суммы. Она утверждает, что для любых чисел \(x\) и \(y\), а также для любого натурального числа \(n\) справедливо следующее: \[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C^n_k \cdot x^k \cdot y^{n-k} \] где \(C^n_k\) (биномиальный коэффициент) вычисляется по формуле: \[ C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Здесь: - \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), то есть произведение всех положительных целых чисел от 1 до \(n\). - Биномиальный коэффициент \(C^n_k\) показывает, сколько способов выбрать \(k\) объектов из \(n\) без учета порядка. ### Примерные задачи с решением Найдите сумму \(C^5_0 + 3C^5_1 + 3^2C^5_2 + 3^3C^5_3 + 3^4C^5_4 + 3^5C^5_5\). 1. Здесь \(x = 3\), \(y = 1\) и \(n = 5\). 2. Применяем биномиальную теорему: \[ (3 + 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} C^5_k \cdot 3^k \cdot 1^{5-k} \] 3. Упрощаем: \[ 4^5 = 256 \] Таким образом, сумма \(C^5_0 + 3C^5_1 + 3^2C^5_2 + 3^3C^5_3 + 3^4C^5_4 + 3^5C^5_5\) равна \(256\). --- Определите \(C^6_0 + 2C^6_1 + 2^2C^6_2 + 2^3C^6_3 + 2^4C^6_4 + 2^5C^6_5 + 2^6C^6_6\). 1. Здесь \(x = 2\), \(y = 1\) и \(n = 6\). 2. Применяем биномиальную теорему: \[ (2 + 1)^6 = \sum_{k=0}^{6} C^6_k \cdot 2^k \cdot 1^{6-k} \] 3. Упрощаем: \[ 3^6 = 729 \] Следовательно, сумма \(C^6_0 + 2C^6_1 + 2^2C^6_2 + 2^3C^6_3 + 2^4C^6_4 + 2^5C^6_5 + 2^6C^6_6\) равна \(729\). --- Решите следующую задачу самостоятельно: Найдите сумму \(C^7_0 + 5C^7_1 + 5^2C^7_2 + 5^3C^7_3 + 5^4C^7_4 + 5^5C^7_5 + 5^6C^7_6 + 5^7C^7_7\).