1. Докажите и подтвердите иллюстрациями на диаграммах Эйлера-Венна, что для любых множеств А, В, С имеет место равенство:
А U В = А U (В \ А).

2. С помощью равносильных преобразований приведите следующую формулу к наиболее простому виду:
((p⇒q)(p V q)) ̅.
Постройте таблицы истинности для следующего высказывания:
(p⇒q) V (p ̅q ̅ ) ̅.

### Задача 1: Докажите, что A ∪ B = A ∪ (B \ A) 1. **Определение множеств**: - Пусть A, B и C — произвольные множества. - Строка \( B \setminus A \) обозначает элементы, принадлежащие множеству B, но не принадлежащие множеству A. 2. **Проверка левой части**: - Рассмотрим множество \( A \cup B \). Оно включает все элементы, которые есть в A или в B, или в обоих. 3. **Проверка правой части**: - Рассмотрим множество \( A \cup (B \setminus A) \). Оно включает все элементы, которые есть в A и все элементы, которые есть в B, кроме тех, что принадлежат A. 4. **Сравнение**: - Любое значение x в \( A \cup B \): - Если \( x \in A \), то \( x \) явно входит в правую часть \( A \cup (B \setminus A) \). - Если \( x \in B \) и \( x \notin A \), то \( x \) входит в \( B \setminus A \) и также появляется в правой части. - Таким образом, \( x \) всегда включено в правую часть. 5. **Вывод**: - Мы показали, что любое x, принадлежащее \( A \cup B \), также принадлежит \( A \cup (B \setminus A) \) и наоборот. Следовательно, равенство \( A \cup B = A \cup (B \setminus A) \) верно. 6. **Иллюстрация диаграммами Эйлера-Венна**: - Нарисуйте два круга: один для множества A и другой для множества B. - Обозначьте область A, а также область B, не пересекающуюся с A. Обозначьте объединение, как показано на диаграмме, где вся область A и оставшаяся часть B присутствуют в объединении. --- ### Задача 2: Упрощение формулы ((p ⇒ q)(p V q)) ̅ 1. **Работа с импликацией**: - Напомним, что \( p \Rightarrow q \) эквивалентно \( \neg p \vee q \). - Перепишем выражение: \( [( \neg p \vee q )(p \vee q)] ̅ \). 2. **Введение закона де Моргана**: - Применим закон де Моргана: \( \neg (A \cdot B) = \neg A + \neg B \). - Получаем: \( [(\neg p \vee q)] ̅ + [ (p \vee q)] ̅ \). 3. **Упрощение частей**: - Применяя закон де Моргана, получаем: - \( (\neg (\neg p \vee q)) = (p \wedge \neg q) \) - \( (p \vee q) ̅ = \neg p \wedge \neg q \) 4. **Финальное выражение**: - Подставим обратно в выражение: - \( (p \wedge \neg q) + (\neg p \wedge \neg q) = \neg q \cdot (p + \neg p) = \neg q \) - Следовательно, выражение упрощается до \( \neg q \). --- ### Построение таблицы истинности для (p ⇒ q) V (p ̅ q ̅) ̅ 1. **Сначала найдем каждый элемент таблицы**: - Для \( p \Rightarrow q = \neg p \vee q \). - Для \( p̅ = \neg p \). - Для \( q̅ = \neg q \). - Мы исследуем \( (p \Rightarrow q) \vee (p̅ q̅) \). 2. **Таблица истинности**: | p | q | p ⇒ q | p̅ | q̅ | p̅ q̅ | (p ⇒ q) V (p̅ q̅) | |---|---|--------|----|----|-------|-------------------| | T | T | T | F | F | F | T | | T | F | F | F | T | F | F | | F | T | T | T | F | F | T | | F | F | T | T | T | T | T | 3. **Вывод из таблицы**: - Таким образом, результирующее выражение верно, когда p и q могут принимать разные значения, и как видно, оно истинно в 3 случаях. --- При добавлении объяснений и логического обоснования, расчеты и итоги каждой задачи четко представлены.