Показать ответ
Давайте решим заданные уравнения по очереди и проанализируем каждый шаг.
### а) \( z^2 + i = 0 \)
**Шаг 1: Переносим \( i \) на другую сторону уравнения.**
\[
z^2 = -i
\]
**Шаг 2: Представим \( -i \) в полярной форме.**
Комплексное число \( -i \) можно записать как:
\[
-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}
\]
**Шаг 3: Находим корни уравнения.**
Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:
\[
z = \sqrt{r} e^{i(\theta + 2k\pi)/2}, \quad k = 0, 1
\]
где \( r \) — модуль, а \( \theta \) — аргумент (угол).
Для \( -i \) имеем \( r = 1 \) и \( \theta = -\frac{\pi}{2} \). Таким образом:
\[
z = e^{i(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi)/2} = e^{-i\frac{\pi}{4}} \ \text{при} \ k=0
\]
\[
z = e^{i(\frac{3\pi}{4})} \ \text{при} \ k=1
\]
**Шаг 4: Записываем корни.**
Корни:
\[
z_1 = e^{-i\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
z_2 = e^{i\frac{3\pi}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
### б) \( z^2 - 5z + 2 = 0 \)
**Шаг 1: Применим формулу дискриминанта.**
Для уравнения \( az^2 + bz + c = 0 \), дискриминант:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
В нашем случае \( a = 1, b = -5, c = 2 \):
\[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17
\]
**Шаг 2: Находим корни.**
Корни находятся по формуле:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]
Подставляем значения:
\[
z = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}
\]
**Шаг 3: Записываем корни.**
Корни уравнения:
\[
z_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}
\]
\[
z_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}
\]
### Изображение на комплексной плоскости:
1. **Для уравнения а)**
- \( z_1 \) будет находиться в четвёртой четверти (координаты \( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \)).
- \( z_2 \) будет находиться во второй четверти (координаты \( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \)).
2. **Для уравнения б)**
- Корни являются действительными числами, так что их координаты \( z_1 \) и \( z_2 \) будут находиться на вещественной оси.
### Конечный ответ:
- Корни первого уравнения:
\[
z_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad z_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
- Корни второго уравнения:
\[
z_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \quad z_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}
\]
Корни можно отобразить на комплексной плоскости, где \( z_1 \) и \( z_2 \) первого уравнения будут в разных четвертях, а у второго уравнения они будут на действительной оси.
6
Задай свой вопрос