5.14. Космический корабль движется вокруг Земли со скоростью v = 7,863 км/с. За сколько лет часы на корабле и на Земле разойдутся на 1 секунду? Скорость света считать равной c = 2,998•108 м/c?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно использовать концепцию времени, замедленного движением, из теории относительности Эйнштейна. 1. **Понимание основных понятий**: Мы должны знать, что время идет медленнее у объектов, движущихся с высокими скоростями, по сравнению с теми, кто находится в состоянии покоя. Это означает, что часы на космическом корабле будут идти медленнее, чем часы на Земле. 2. **Скорость космического корабля**: Скорость корабля дана как v = 7,863 км/с. Переведем эту скорость в метры в секунду: \[ v = 7,863 \, \text{км/с} \times 1000 \, \text{м/км} = 7863 \, \text{м/с} \] 3. **Скорость света**: Скорость света c = 2,998 \times 10^8 м/с. Она используется для расчета эффекта замедления времени. 4. **Использование формулы замедления времени**: В теории относительности время замедляется по формуле: \[ t' = t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] где: - \( t' \) — время на движущемся объекте (корабле), - \( t \) — время на неподвижном объекте (Земле), - \( v \) — скорость объекта, - \( c \) — скорость света. Нам нужно найти время, за которое часы на корабле и на Земле разойдутся на 1 секунду. Это относится к разности между временем, прошедшим на Земле и временем, прошедшим на корабле. 5. **Разность времени**: Пусть \( \Delta t = 1 \) секунда — это разница во времени. Разность времени можно выразить так: \[ \Delta t = t - t' = t - t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] Это можно упростить: \[ \Delta t = t \left(1 - \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right) \] 6. **Подставим значения**: Теперь найдем \( \frac{v^2}{c^2} \): \[ \frac{v^2}{c^2} = \frac{(7863)^2}{(2,998 \times 10^8)^2} \approx \frac{61,059,369}{8.988 \times 10^{16}} \approx 6.79 \times 10^{-9} \] Подставим это в формулу для величины, равной \( \Delta t \): \[ \Delta t \approx t \cdot \left(1 - \sqrt{1 - 6.79 \times 10^{-9}}\right) \] Используем разложение для квадратного корня \( \sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{x}{2} \) для малых \( x \): \[ \sqrt{1 - 6.79 \times 10^{-9}} \approx 1 - \frac{6.79 \times 10^{-9}}{2} \] Подставим это: \[ \Delta t \approx t \cdot \left(1 - \left(1 - \frac{6.79 \times 10^{-9}}{2}\right)\right) = t \cdot \frac{6.79 \times 10^{-9}}{2} \approx 3.395 \times 10^{-9} \cdot t \] 7. **Найдем время t, когда разность составит 1 секунду**: Поставим 1 секунду в уравнение: \[ 1 \approx 3.395 \times 10^{-9} \cdot t \] Значит: \[ t \approx \frac{1}{3.395 \times 10^{-9}} \approx 294.4 \, \text{млн секунд} \] Переведем это в годы: \[ \text{Время в годах} = \frac{294.4 \times 10^6}{60 \, \text{секунд} \times 60 \, \text{минут} \times 24 \, \text{часов} \times 365 \, \text{дней}} \approx 9.34 \, \text{лет} \] **Ответ**: Часы на космическом корабле и на Земле разойдутся на 1 секунду примерно за 9.34 года.