Вопрос
 16.12.2024

Среди представленных множеств линейное пространство образует …
Выберите ответ
множество всех комплексных чисел
множество всех натуральных чисел
​множество всех положительных иррациональных чисел
​множество всех отрицательных рациональных чисел

. 24

Ответ от Mozg.AI

Показать ответ
1 👍
Чтобы определить, какое из представленных множеств образует линейное пространство, вспомним основные свойства линейного пространства.

Линейное пространство необходимо удовлетворять следующим условиям:

1. Существование нулевого элемента (нулевого вектора).
2. Замкнутость относительно сложения.
3. Замкнутость относительно умножения на скаляр.
4. Существование противоположного (негативного) элемента для каждого элемента в пространстве.

Теперь проверим каждое из представленных множеств.

1. **Множество всех комплексных чисел.**
- Сложение: Сумма двух комплексных чисел является комплексным числом.
- Умножение на скаляр: При умножении комплексного числа на любое действительное или комплексное число результат остаётся в том же множестве.
- Нулевой элемент: Нулевое комплексное число (0 + 0i) присутствует.
- Противоположный элемент: У каждой комплексной единицы существует противоположная единица.

Это множество образует линейное пространство.

2. **Множество всех натуральных чисел.**
- Сложение: Сумма двух натуральных чисел остаётся натуральным числом.
- Умножение на скаляр: Если умножить натуральное число на положительный скаляр, то оно останется натуральным числом. Однако при умножении на отрицательный скаляр когда-либо, например -1, мы не получаем натуральных чисел.
- Нулевой элемент отсутствует (нет 0).
- Противоположный элемент также отсутствует.

Это множество не образует линейное пространство.

3. **Множество всех положительных иррациональных чисел.**
- Сложение: Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным или нецелым. Например, √2 + √2 = 2 (рациональное число) не является положительным иррациональным числом.
- Умножение на скаляр: Умножение на отрицательный скаляр приводит к отрицательному числу.
- Нулевой элемент и противоположный элемент отсутствуют.

Это множество не образует линейное пространство.

4. **Множество всех отрицательных рациональных чисел.**
- Сложение: Сумма двух отрицательных рациональных чисел остаётся отрицательным рациональным числом.
- Умножение на положительный скаляр: Умножив на положительное число, результат останется отрицательным рациональным числом. Умножение на отрицательный скаляр вернёт положительное число.
- Нулевой элемент отсутствует (нет 0).
- Противоположный элемент также отсутствует.

Это множество не образует линейное пространство.

Итак, единственным множеством, которое образует линейное пространство, являются **множество всех комплексных чисел**.
Ответ помог?