Среди представленных множеств линейное пространство образует …
Выберите ответ
множество всех комплексных чисел
множество всех натуральных чисел
множество всех положительных иррациональных чисел
множество всех отрицательных рациональных чисел
Чтобы определить, какое из представленных множеств образует линейное пространство, вспомним основные свойства линейного пространства.
Линейное пространство необходимо удовлетворять следующим условиям:
1. Существование нулевого элемента (нулевого вектора).
2. Замкнутость относительно сложения.
3. Замкнутость относительно умножения на скаляр.
4. Существование противоположного (негативного) элемента для каждого элемента в пространстве.
Теперь проверим каждое из представленных множеств.
1. **Множество всех комплексных чисел.**
- Сложение: Сумма двух комплексных чисел является комплексным числом.
- Умножение на скаляр: При умножении комплексного числа на любое действительное или комплексное число результат остаётся в том же множестве.
- Нулевой элемент: Нулевое комплексное число (0 + 0i) присутствует.
- Противоположный элемент: У каждой комплексной единицы существует противоположная единица.
Это множество образует линейное пространство.
2. **Множество всех натуральных чисел.**
- Сложение: Сумма двух натуральных чисел остаётся натуральным числом.
- Умножение на скаляр: Если умножить натуральное число на положительный скаляр, то оно останется натуральным числом. Однако при умножении на отрицательный скаляр когда-либо, например -1, мы не получаем натуральных чисел.
- Нулевой элемент отсутствует (нет 0).
- Противоположный элемент также отсутствует.
Это множество не образует линейное пространство.
3. **Множество всех положительных иррациональных чисел.**
- Сложение: Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным или нецелым. Например, √2 + √2 = 2 (рациональное число) не является положительным иррациональным числом.
- Умножение на скаляр: Умножение на отрицательный скаляр приводит к отрицательному числу.
- Нулевой элемент и противоположный элемент отсутствуют.
Это множество не образует линейное пространство.
4. **Множество всех отрицательных рациональных чисел.**
- Сложение: Сумма двух отрицательных рациональных чисел остаётся отрицательным рациональным числом.
- Умножение на положительный скаляр: Умножив на положительное число, результат останется отрицательным рациональным числом. Умножение на отрицательный скаляр вернёт положительное число.
- Нулевой элемент отсутствует (нет 0).
- Противоположный элемент также отсутствует.
Это множество не образует линейное пространство.
Итак, единственным множеством, которое образует линейное пространство, являются **множество всех комплексных чисел**.