Вычислить проекцию вектора a(5;2;5)на ось вектора b(2;-1;2)

Для вычисления проекции вектора \( \mathbf{a} \) на вектор \( \mathbf{b} \) мы используем формулу проекции: \[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b} \] где \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) — векторы, а \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение. ### Шаг 1: Вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) Векторы заданы как: \[ \mathbf{a} = (5, 2, 5), \quad \mathbf{b} = (2, -1, 2) \] Скалярное произведение вычисляется по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \] Подставим значения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 \] Выразим: \[ = 10 - 2 + 10 = 18 \] ### Шаг 2: Вычислим \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \) Теперь найдем скалярное произведение \( \mathbf{b} \) самого с собой: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \] Подставим значения: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 \] Вычислим: \[ = 4 + 1 + 4 = 9 \] ### Шаг 3: Вычислим проекцию \( \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} \) Теперь мы можем подставить найденные скалярные произведения в формулу проекции: \[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{18}{9} \mathbf{b} \] Сначала упростим дробь: \[ \frac{18}{9} = 2 \] Таким образом, проекция: \[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = 2 \mathbf{b} \] Теперь подставим вектор \( \mathbf{b} \): \[ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = 2(2, -1, 2) = (4, -2, 4) \] ### Ответ Проекция вектора \( \mathbf{a} \) на вектор \( \mathbf{b} \) равна: \[ (4, -2, 4) \]