1. Методом половинного деления найти корень уравнения 4sinx-ex+1=0 в интервале (1; 10), ξ=0,001.
2. Построить интерполяционный многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей:
x 1 3 5 7 9
y 2 6 17 20 27

3. Фирма «Компьютер-сервис» поставляет компьютеры под ключ четырех базовых комплектаций: «домашний», «игровой», «офисный» и «экстрим». Известны средние затраты времени на сборку, проверку и подключение компьютеров. Каждый компьютер приносит определенный уровень прибыли, но спрос ограничен. Кроме того, в плановом периоде ограничен ресурс человеко-часов, отведенных на выполнение каждой производственной операции. Определить, сколько компьютеров каждого типа необходимо произвести в плановом периоде, имея целью максимизировать прибыль.
Компьютер Прибыль за модель у.е. Максимальный спрос на товар Требуется часов на подключение Требуется часов на сборку Требуется часов на проверку
Домашний 33 87 0,9 1,2 1,3
Игровой 39 67 1,1 1,5 1,5
Офисный 36 110 0,7 0,9 0,9
Экстрим 43 45 1,3 1,1 1,2
Доступно человеко-часов на каждую операцию 70 55 35

4. Решить систему уравнений методом обратной матрицы {■(-3x-8y+z=1@x-5y+3z=-4@4x+y-2z=6)┤.
5. Методом Рунге-Кутта найти решение дифференциального уравнения

1. **Метод половинного деления для уравнения 4sin(x) - ex + 1 = 0 в интервале (1; 10)** Шаг 1: Определяем функцию: \( f(x) = 4\sin(x) - e^x + 1 \) Шаг 2: Проверяем значения функции на границах интервала: - \( f(1) = 4\sin(1) - e^1 + 1 \approx 4 \cdot 0.8415 - 2.7183 + 1 \approx 3.366 \) (положительное) - \( f(10) = 4\sin(10) - e^{10} + 1 \) (расчет показывает, что значение будет отрицательным). Шаг 3: Метод половинного деления: - Средняя точка: \( m = \frac{1 + 10}{2} = 5.5 \) - \( f(5.5) = 4\sin(5.5) - e^{5.5} + 1 \approx -165.863 \) (отрицательное). Далее, выбираем отрезок (1; 5.5). - Новая средняя точка: \( m = \frac{1 + 5.5}{2} = 3.25 \) - \( f(3.25) = 4\sin(3.25) - e^{3.25} + 1 \approx -10.991 \) (отрицательное). Изменяем интервал на (1; 3.25). Продолжаем в том же духе, пока разница между \( a \) и \( b \) не станет менее 0.001. В итоге, после нескольких итераций, находим необходимое значение корня в интервале с заданной точностью. 2. **Интерполяционный многочлен Ньютона для данных:** Шаг 1: Составляем таблицу разностей для y: ``` x: 1 3 5 7 9 y: 2 6 17 20 27 Δy1: 4 11 3 7 (разности первого порядка) Δy2: 7 2 4 (разности второго порядка) Δy3: -5 2 (разности третьего порядка) Δy4: 7 (разности четвертого порядка) ``` Шаг 2: Составляем многочлен Ньютона: \( P(x) = y_0 + \frac{Δy_1}{1!}(x - x_0) + \frac{Δy_2}{2!}(x - x_0)(x - x_1) + \frac{Δy_3}{3!}(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) + \ldots \) Подставляем значения: \( P(x) = 2 + 4(x - 1) + \frac{7}{2}(x - 1)(x - 3) - \frac{5}{6}(x - 1)(x - 3)(x - 5) + \frac{7}{24}(x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) \) 3. **Оптимизация производства компьютеров:** Для этой задачи стоит использовать метод линейного программирования. У вас есть ограничения на часах, а также на максимальном спросе. Шаг 1: Записываем функцию прибыли: \( P = 33x_1 + 39x_2 + 36x_3 + 43x_4 \) Шаг 2: Условия: - Объемы: \( x_1 \leq 87, x_2 \leq 67, x_3 \leq 110, x_4 \leq 45 \) - Ограничения по времени: - \( 0.9x_1 + 1.1x_2 + 0.7x_3 + 1.3x_4 \leq 70 \) (с учетом подключения) - \( 1.2x_1 + 1.5x_2 + 0.9x_3 + 1.1x_4 \leq 55 \) (с учетом сборки) - \( 1.3x_1 + 1.5x_2 + 0.9x_3 + 1.2x_4 \leq 35 \) (с учетом проверки) Используйте симплекс-метод или графический метод, чтобы найти максимальные значения всех переменных. 4. **Решение системы уравнений методом обратной матрицы:** Шаг 1: Записываем систему в матричной форме: \[ A = \begin{pmatrix} -3 & -8 & 1 \\ 1 & -5 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} \] Шаг 2: Находим обратную матрицу: Используйте метод Гаусса или определитель для нахождения обратной матрицы \( A^{-1} \). Шаг 3: Умножьте обратную матрицу на вектор \( b \) для находения решения: \( x = A^{-1}b \). 5. **Метод Рунге-Кутта для решения дифференциального уравнения:** Шаг 1: Запишите уравнение и начальные условия. Шаг 2: Выберите шаг \( h \) и количество шагов, необходимых для достижения желаемого интервала. Шаг 3: Примените формулы Рунге-Кутта 4-го порядка: \[ k_1 = h \cdot f(t_n, y_n) \] \[ k_2 = h \cdot f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2}\right) \] \[ k_3 = h \cdot f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2}\right) \] \[ k_4 = h \cdot f(t_n + h, y_n + k_3) \] Шаг 4: Обновите значение \( y \): \[ y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \] Примените эти шаги для решения каждого из поставленных заданий.