Для задания нужно определить полуоси, фокусы и уравнения асимптот гиперболы, описанной уравнением \(x^2 - 4y^2 = 16\).
### Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
Начнем с уравнения гиперболы и приведем его к стандартному виду. Мы имеем:
\[
x^2 - 4y^2 = 16
\]
Для этого делим обе стороны уравнения на 16:
\[
\frac{x^2}{16} - \frac{4y^2}{16} = 1
\]
Упростим дробь:
\[
\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1
\]
Теперь у нас стандартное уравнение гиперболы вида:
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
где \(a^2 = 16\) и \(b^2 = 4\).
### Шаг 2: Определение полуосей
Для гиперболы:
- Полуось \(a\) (горизонтальная) равна \(\sqrt{a^2}\):
\[
a = \sqrt{16} = 4
\]
- Полуось \(b\) (вертикальная) равна \(\sqrt{b^2}\):
\[
b = \sqrt{4} = 2
\]
### Шаг 3: Определение фокусов
Координаты фокусов гиперболы определяются формулой:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
В данном случае:
\[
c = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
Фокусы находятся на оси \(x\), так как это гипербола, открытая по горизонтали. Их координаты:
\[
F_1(-c, 0) = (-2\sqrt{5}, 0), \quad F_2(c, 0) = (2\sqrt{5}, 0)
\]
### Шаг 4: Уравнения асимптот
Уравнения асимптот для гиперболы задаются формулами:
\[
y = \pm \frac{b}{a}x
\]
Подставим найденные значения \(a\) и \(b\):
\[
y = \pm \frac{2}{4}x = \pm \frac{1}{2}x
\]
Таким образом, уравнения асимптот:
\[
y = \frac{1}{2}x \quad \text{и} \quad y = -\frac{1}{2}x
\]
### Результаты
1. Полуоси: \(a = 4\), \(b = 2\)
2. Фокусы: \(F_1(-2\sqrt{5}, 0)\), \(F_2(2\sqrt{5}, 0)\)
3. Уравнения асимптот: \(y = \frac{1}{2}x\) и \(y = -\frac{1}{2}x\)
7
Задай свой вопрос