найдите производную функции y = 3x5 - 20x2 - 8x + 1

Для нахождения производной функции \( y = 3x^5 - 20x^2 - 8x + 1 \) будем следовать шаг за шагом. ### Шаг 1: Определение функции Функция, для которой мы хотим найти производную: \[ y = 3x^5 - 20x^2 - 8x + 1 \] ### Шаг 2: Применение правил дифференцирования Мы будем использовать основное правило дифференцирования для степенных функций: Если \( f(x) = ax^n \), то \( f'(x) = anx^{n-1} \). Применим это правило к каждому члену функции: 1. **Первый член:** \( 3x^5 \) \[ \frac{d}{dx}(3x^5) = 3 \cdot 5x^{5-1} = 15x^4 \] 2. **Второй член:** \( -20x^2 \) \[ \frac{d}{dx}(-20x^2) = -20 \cdot 2x^{2-1} = -40x \] 3. **Третий член:** \( -8x \) \[ \frac{d}{dx}(-8x) = -8 \cdot 1x^{1-1} = -8 \] 4. **Четвертый член:** \( +1 \) \[ \frac{d}{dx}(1) = 0 \] ### Шаг 3: Сложение производных Теперь мы можем собрать все найденные производные в одно выражение: \[ y' = 15x^4 - 40x - 8 + 0 \] ### Шаг 4: Упрощение результата Упрощаем результат, убирая ноль: \[ y' = 15x^4 - 40x - 8 \] ### Шаг 5: Проверка ответа Для проверки правильности результата можно использовать правило обратного дифференцирования: - Мы знаем, что производная \( 15x^4 - 40x - 8 \) должна восстанавливать исходную функцию \( 3x^5 - 20x^2 - 8x + 1 \) при интегрировании. Если мы проводим интегрирование по выражению \( 15x^4 - 40x - 8 \): 1. **Интегрирование \( 15x^4 \):** \[ \int 15x^4 \,dx = 3x^5 + C_1 \] 2. **Интегрирование \( -40x \):** \[ \int -40x \,dx = -20x^2 + C_2 \] 3. **Интегрирование \( -8 \):** \[ \int -8 \,dx = -8x + C_3 \] Собирая все вместе и добавляя константу интегрирования, мы получаем: \[ 3x^5 - 20x^2 - 8x + C \] где \( C = C_1 + C_2 + C_3 \) — произвольная константа. ### Итог Таким образом, найденная производная функции \( y = 3x^5 - 20x^2 - 8x + 1 \) равна: \[ y' = 15x^4 - 40x - 8 \]