Чтобы проверить, лежат ли точки A(2, -1, 2), B(1, 1, 2), C(2, 3, 0) и D(5, 0, -6) в одной плоскости, мы можем воспользоваться критерием, основанным на векторном произведении.
### Шаг 1: Найдем векторы
Сначала найдем векторы AB, AC и AD:
1. **Вектор AB**:
\[
AB = B - A = (1 - 2, 1 - (-1), 2 - 2) = (-1, 2, 0)
\]
2. **Вектор AC**:
\[
AC = C - A = (2 - 2, 3 - (-1), 0 - 2) = (0, 4, -2)
\]
3. **Вектор AD**:
\[
AD = D - A = (5 - 2, 0 - (-1), -6 - 2) = (3, 1, -8)
\]
### Шаг 2: Проверим линейную зависимость
Чтобы проверить, лежат ли эти векторы в одной плоскости, нам нужно проверить, является ли вектор AD линейной комбинацией векторов AB и AC. Это можно сделать с помощью определения объема параллелепипеда, образованного этими векторами. Объем будет равен нулю, если векторы линейно зависимы.
Для этого найдем определитель матрицы, составленной из векторов AB, AC и AD:
\[
\begin{vmatrix}
-1 & 2 & 0 \\
0 & 4 & -2 \\
3 & 1 & -8
\end{vmatrix}
\]
### Шаг 3: Вычислим определитель
Используем правило Sarrus или разложим определитель по строке:
\[
D = -1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 3 & -8 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}
\]
Вычислим первые два определителя:
1. **Первый определитель**:
\[
\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} = (4 \cdot (-8)) - (-2 \cdot 1) = -32 + 2 = -30
\]
2. **Второй определитель**:
\[
\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 3 & -8 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-8)) - (-2 \cdot 3) = 0 + 6 = 6
\]
Теперь подставим значения в определитель D:
\[
D = -1 \cdot (-30) - 2 \cdot 6 + 0 = 30 - 12 = 18
\]
### Шаг 4: Проверим объем
Так как определитель D не равен нулю (D = 18), это значит, что векторы AB, AC и AD не линейно зависимы.
### Вывод
Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.
39
Задай свой вопрос