Найдите значение выражения
2
log
⁡
5
2
+
log
⁡
5
0
,
01
2log
5
​
2+log
5
​
0,01. Впишите ответ.

Ответ: .

Давайте разберем данное выражение шаг за шагом. Запишем его сначала корректно: $$2{\log }_{5}2+{\log }_{5}0,01$$ ### Шаг 1: Упрощение логарифмов Во-первых, мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что ${\log }_b{a}^n=n\cdot {\log }_{b}a$. Мы можем переписать ${\log }_{5}0,01$: $$0,01=\frac{1}{100}={10}^{-2}$$ Следовательно: $${\log }_{5}0,01={\log }_5({10}^{-2})=-2{\log }_{5}10$$ ### Шаг 2: Логарифм основания 10 Используя соотношение между логарифмами с различными основаниями, мы можем записать: $${\log }_{5}10=\frac{{\log }_{10}10}{{\log }_{10}5}=\frac{1}{{\log }_{10}5}$$ Таким образом: $${\log }_{5}0,01=-2\cdot \frac{1}{{\log }_{10}5}$$ ### Шаг 3: Подставляем обратно в исходное выражение Теперь мы можем заменить ${\log }_{5}0,01$ в нашем выражении: $$2{\log }_{5}2-2\cdot \frac{1}{{\log }_{10}5}$$ ### Шаг 4: Объединим выражение Теперь мы заметим, что в выражении есть общий множитель: $$2({\log }_{5}2-\frac{1}{{\log }_{10}5})$$ ### Шаг 5: Сравнение и вычисление Мы знаем, что: $${\log }_{5}2=\frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}5}$$ Таким образом: $${\log }_{5}2-\frac{1}{{\log }_{10}5}=\frac{{\log }_{10}2-1}{{\log }_{10}5}$$ Теперь подставляем это обратно в выражение: $$2\cdot \frac{{\log }_{10}2-1}{{\log }_{10}5}$$ ### Шаг 6: Упрощение Если мы хотим получить численное значение, нам нужно подставить значения: $${\log }_{10}2\approx 0.3010\text{и}{\log }_{10}5\approx 0.6990$$ Теперь подставим эти значения в выражение: $${\log }_{10}2-1\approx 0.3010-1=-0.6990$$ Итак: $$\frac{-0.6990}{0.6990}=-1$$ ### Шаг 7: Вычисление окончательного выражения Теперь можем вычислить: $$2\cdot (-1)=-2$$ ### Ответ Таким образом, значение выражения равно $-2$.