Найдите значение выражения
2
log
⁡
5
2
+
log
⁡
5
0
,
01
2log
5
​
2+log
5
​
0,01. Впишите ответ.

Ответ: .

Давайте разберем данное выражение шаг за шагом. Запишем его сначала корректно: \[ 2 \log_5 2 + \log_5 0,01 \] ### Шаг 1: Упрощение логарифмов Во-первых, мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что \(\log_b a^n = n \cdot \log_b a\). Мы можем переписать \(\log_5 0,01\): \[ 0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2} \] Следовательно: \[ \log_5 0,01 = \log_5 (10^{-2}) = -2 \log_5 10 \] ### Шаг 2: Логарифм основания 10 Используя соотношение между логарифмами с различными основаниями, мы можем записать: \[ \log_5 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 5} = \frac{1}{\log_{10} 5} \] Таким образом: \[ \log_5 0,01 = -2 \cdot \frac{1}{\log_{10} 5} \] ### Шаг 3: Подставляем обратно в исходное выражение Теперь мы можем заменить \(\log_5 0,01\) в нашем выражении: \[ 2 \log_5 2 - 2 \cdot \frac{1}{\log_{10} 5} \] ### Шаг 4: Объединим выражение Теперь мы заметим, что в выражении есть общий множитель: \[ 2 \left( \log_5 2 - \frac{1}{\log_{10} 5} \right) \] ### Шаг 5: Сравнение и вычисление Мы знаем, что: \[ \log_5 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 5} \] Таким образом: \[ \log_5 2 - \frac{1}{\log_{10} 5} = \frac{\log_{10} 2 - 1}{\log_{10} 5} \] Теперь подставляем это обратно в выражение: \[ 2 \cdot \frac{\log_{10} 2 - 1}{\log_{10} 5} \] ### Шаг 6: Упрощение Если мы хотим получить численное значение, нам нужно подставить значения: \[ \log_{10} 2 \approx 0.3010 \quad \text{и} \quad \log_{10} 5 \approx 0.6990 \] Теперь подставим эти значения в выражение: \[ \log_{10} 2 - 1 \approx 0.3010 - 1 = -0.6990 \] Итак: \[ \frac{-0.6990}{0.6990} = -1 \] ### Шаг 7: Вычисление окончательного выражения Теперь можем вычислить: \[ 2 \cdot (-1) = -2 \] ### Ответ Таким образом, значение выражения равно \(-2\).