В классе находятся 10 девочек и 17 мальчиков. У учительницы математики есть для них 20 заданий. Каждое задание выдается или мальчику, или девочке, или паре: мальчик девочка. Задание выдается только один раз и каждый должен работать только над одним заданием (один или в паре). Сколько мальчиков и сколько девочек работают над заданием самостоятельно?

Для решения этой задачи воспользуемся методом алгебры. Начнем с анализа данных: 1. В классе 10 девочек и 17 мальчиков. 2. У учительницы 20 заданий. 3. Каждое задание может быть выдано одному мальчику, одной девочке или паре (мальчик + девочка). Обозначим: - \( x \) — количество заданий, выданных девочкам, - \( y \) — количество заданий, выданных мальчикам, - \( z \) — количество заданий, выданных парам (мальчик + девочка). Из условия задачи можно сформулировать следующие уравнения: 1. Общее количество заданий: \[ x + y + z = 20 \] 2. Количество девочек, работающих над заданиями: Поскольку каждая девочка может взять одно задание, то всего девочек, работающих самостоятельно (только над заданиями для девочек), составит: \[ x + z \leq 10 \] 3. Количество мальчиков, работающих над заданиями: Аналогично для мальчиков: \[ y + z \leq 17 \] Теперь у нас есть система неравенств и равенств: \[ \begin{cases} x + y + z = 20 \\ x + z \leq 10 \\ y + z \leq 17 \end{cases} \] Теперь мы будем решать эту систему шаг за шагом. ### Шаг 1: Упрощение Из первого уравнения можно выразить \( z \): \[ z = 20 - x - y \] ### Шаг 2: Подстановка в неравенства Подставим выражение для \( z \) во вторые два неравенства: 1. Подставляем в \( x + z \leq 10 \): \[ x + (20 - x - y) \leq 10 \] Упрощаем: \[ 20 - y \leq 10 \quad \Rightarrow \quad y \geq 10 \] 2. Подставляем в \( y + z \leq 17 \): \[ y + (20 - x - y) \leq 17 \] Упрощаем: \[ 20 - x \leq 17 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3 \] Теперь у нас есть два новых неравенства: 1. \( y \geq 10 \) 2. \( x \geq 3 \) ### Шаг 3: Ограничение на задания Теперь, зная, что \( y + z + x = 20 \), подставим из неравенств, которые мы нашли (заметим, что \( z = 20 - x - y \)). ### Шаг 4: Поиск значений Рассмотрим возможные значения \( x \) и \( y \), соблюдая условия: 1. Если \( y = 10 \), тогда подставляем в уравнение для \( z \): \[ x + 10 + z = 20 \quad \Rightarrow \quad x + z = 10 \] Здесь \( x = 3, z = 7 \) (например). 2. Проверка: \[ x + z = 3 + 7 = 10 \quad (у девочек 10 не превышено) \] \[ y + z = 10 + 7 = 17 \quad (у мальчиков 17 не превышено) \] Если \( y = 11 \): \[ x + 11 + z = 20 \quad \Rightarrow \quad x + z = 9 \] Здесь \( x = 3, z = 6 \) (например). Таким образом, при \( x = 3, y = 10, z = 7 \): - Мальчиков, работающих самостоятельно: \( y = 10 \) - Девочек, работающих самостоятельно: \( x = 3 \) - Пары: \( z = 7 \), что не может превышать максимум \( z \). ### Итог: Таким образом, окончательный ответ: - 10 мальчиков работают над заданием самостоятельно. - 3 девочки работают над заданием самостоятельно. Запись в ответе: - Мальчики: 10. - Девочки: 3.