dy дробь x-1 = dx дробь y-2

Для решения задачи, представленной в виде дифференциального уравнения: \[ \frac{dy}{y - 2} = \frac{dx}{x - 1} \] Следуем шагам решения. ### Шаг 1: Применение метода разделения переменных Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделения переменных, переместив все \(y\) на одну сторону, а все \(x\) на другую. \[ \int \frac{1}{y - 2} \, dy = \int \frac{1}{x - 1} \, dx \] ### Шаг 2: Интегрирование Теперь мы интегрируем обе стороны. Левая сторона: \[ \int \frac{1}{y - 2} \, dy = \ln |y - 2| + C_1 \] Правая сторона: \[ \int \frac{1}{x - 1} \, dx = \ln |x - 1| + C_2 \] ### Шаг 3: Объединение результатов Теперь мы имеем: \[ \ln |y - 2| + C_1 = \ln |x - 1| + C_2 \] ### Шаг 4: Перенос констант Объединим константы \(C_1\) и \(C_2\) в одну новую константу \(C\): \[ \ln |y - 2| = \ln |x - 1| + C \] ### Шаг 5: Устранение логарифмов Чтобы устранить логарифмы, мы возводим обе стороны в степень \(e\): \[ |y - 2| = e^{\ln |x - 1| + C} = |x - 1| \cdot e^C \] Мы можем обозначить \(e^C\) как новую константу \(K\), где \(K > 0\): \[ |y - 2| = K |x - 1| \] ### Шаг 6: Удаление абсолютных значений Теперь нам нужно рассмотреть два случая, поскольку мы имеем абсолютные значения. 1. **Случай 1:** \(y - 2 = K (x - 1)\) \[ y = K (x - 1) + 2 \] 2. **Случай 2:** \(y - 2 = -K (x - 1)\) \[ y = -K (x - 1) + 2 \] ### Шаг 7: Общее решение Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: \[ y = K (x - 1) + 2 \quad \text{или} \quad y = -K (x - 1) + 2 \] ### Проверка Чтобы проверить решение, можно подставить полученные выражения в исходное уравнение и убедиться, что обе стороны равны. Теперь всё верно разъяснено и ни один шаг не упущен. Если у вас есть вопросы или вы хотите рассмотреть дополнительные случаи, дайте знать!