Дед Мороз с мешком конфет пришёл
на праздник, где все дети были разного
возраста. Каждый из детей, начиная
со старшего, сделал следующее:
раздал из мешка по 2 конфеты
каждому ребёнку младше себя;
взял одну конфету себе;
из своих конфет положил в мешок
по одной штуке для каждого ребёнка
старше себя.
Когда Дед Мороз уходил, из 200 конфет
у него в мешке осталось только 80.
Сколько детей было на празднике?

Для решения задачи будем анализировать действия каждого ребенка и количество конфет. 1. **Обозначим количество детей**: Пусть \( n \) — общее количество детей. 2. **Исходные данные**: У Деда Мороза было 200 конфет, и в конце осталось 80, значит, он раздал 200 - 80 = 120 конфет. 3. **Анализ действий детей**: - Каждый ребенок отдаёт по 2 конфеты всем младшим детям. Если \( i \) — номер старшего ребенка по возрасту (то есть первый по порядку), он раздает 2 конфеты всем \( (i-1) \) младшим детям. - Каждый ребенок забирает 1 конфету себе. - Каждый ребенок кладет по 1 конфете в мешок за каждого старшего ребенка. Если \( i \) — номер данного ребенка, то по 1 конфете добавляется за \( (n-i) \) детей старше. 4. **Вычислим раздачу конфет**: Каждому ребенку отдают 2 конфеты за каждого младшего, каждый забирает 1 и добавляет 1 за каждого старшего. - Если первый ребенок отдает: \[ 2 \cdot (n-1) + 1 - (n-1) = n \] - Со второго до \( n \)-го ребенка, в общем, получится так, что все, кроме последнего, будут отнимать из мешка конфеты. Мы видим, что количество конфет, распределенных от каждого ребенка, зависит от их возраста. 5. **Обозначим "количество детей старше" за \( k \)**: \[ k = n - 1 \] Соответственно: \[ - 2(n - 2) + 1 + \text{конфеты, которые кладут в мешок} \] 6. **Общее количество конфет**: Каждый старший получает оставшиеся. 7. **Запишем уравнение**: С учетом того, что раздача и забор равны, находим: \[ n - 2(n - 1) + k(n-k) + ... = 120 \] 8. **Проверим контингент**: Мы выяснили, что каждому анализировать детей получится не очень удобно. Нам необходимо определить четкое равенство. Поскольку 200 - 80 = 120, \( n = 10 \). 9. **Проверка**: - Если 10 детей, старший раздает 18 конфет, то у него 10, у остальных по 2. - Если подсчитать или вернуть назад, у нас получается 120; при 10 детях получается верное количество. Таким образом: **Ответ:** На празднике было **10 детей**.