Антон и Лёша бегают вокруг стадиона в разных направлениях. Если Антон будет бежать в 3 раза быстрее, то ребята будут встречаться в 1,5 раза чаще. Во сколько раз чаще они будут встречаться, если Антон продолжит бежать с прежней скоростью, а Лёша будет бежать в 3 раза быстрее?

Для решения задачи о встречах Антона и Лёши, следуем следующим шагам. 1. **Определим скорость Антона и Лёши**: Пусть скорость Антона равна \( v_a \), а скорость Лёши — \( v_l \). 2. **Анализ ситуации**: Если скорость Антона увеличивается в 3 раза, его новая скорость будет равна \( 3v_a \). Тогда, по условию задачи, они встречаются в 1,5 раза чаще. Это можно записать так: \[ \frac{3v_a + v_l}{d} = 1.5 \cdot \frac{v_a + v_l}{d} \] Где \( d \) — это длина круга стадиона. 3. **Упрощение уравнения**: Избавляемся от \( d \): \[ 3v_a + v_l = 1.5(v_a + v_l) \] Раскроем скобки: \[ 3v_a + v_l = 1.5v_a + 1.5v_l \] Переместим все члены с \( v_a \) и \( v_l \) в одну сторону: \[ 3v_a - 1.5v_a + v_l - 1.5v_l = 0 \] Это упрощается до: \[ 1.5v_a - 0.5v_l = 0 \] Отсюда: \[ 1.5v_a = 0.5v_l \implies v_l = 3v_a \] 4. **Теперь рассматриваем вторую часть задачи**: Нам нужно выяснить, во сколько раз чаще они встречаются, если Антон остаётся с прежней скоростью \( v_a \), а Лёша бежит в 3 раза быстрее, то есть его скорость будет равна \( 3v_l = 3 \cdot 3v_a = 9v_a \). 5. **Условия для новых скоростей**: Теперь у нас есть: - Скорость Антона \( v_a \) - Скорость Лёши \( 9v_a \) Теперь найдем частоту встреч: \[ \frac{v_a + 9v_a}{d} = \frac{10v_a}{d} \] А до этого у нас было: \[ \frac{v_a + v_l}{d} = \frac{v_a + 3v_a}{d} = \frac{4v_a}{d} \] 6. **Сравнение частот встреч**: Частота новых встреч: \[ \frac{10v_a}{d} \] Изменение частоты встреч по сравнению с начальной ситуацией: \[ \frac{\frac{10v_a}{d}}{\frac{4v_a}{d}} = \frac{10}{4} = 2.5 \] 7. **Итог**: Они будут встречаться в 2,5 раза чаще, если Лёша будет бегать в 3 раза быстрее, а Антон останется с прежней скоростью. **Ответ**: 2,5 раза чаще.