В правильной пирамиде SABCD проведена биссектриса SM=2 боковой грани SCD и sin CSM=2/3. Найти площадь поверхности пирамиды.

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Дано: - P正四棱锥 SABCD - Биссектрисa SM делит боковую грань SCD - \(\sin \angle CSM = \frac{2}{3}\) ### Шаг 1: Понимание конструкции 1. : У пирамиды SABCD основание ABCD является квадратом, а S — вершина этой пирамиды, находящаяся над центром основания. 2. делит угол \(\angle CSD\) пополам и пересекает грань SCD. ### Шаг 2: Использование тригонометрии У нас есть информация о синусе угла \(\angle CSM\). Мы можем использовать это значение, чтобы найти длину сторон и высоту пирамиды. 1. Пусть длина бокового ребра SC равна \(h\). 2. Из определения синуса: \[ \sin \angle CSM = \frac{CM}{SM} \] Это означает: \[ CM = SM \cdot \sin \angle CSM \] ### Шаг 3: Расчеты Мы знаем, что \[ \sin \angle CSM = \frac{2}{3} \] Следовательно, \[ CM = SM \cdot \frac{2}{3} \] ### Шаг 4: Найдем длину SM Биссектрисa SM делит боковую грань SCD. Таким образом, - Если высота SM приближается к высоте пирамиды, можно определить, что SM делит основание CD пополам, и его длина равна \(h\). ### Шаг 5: Решение модели 1. Давайте обозначим \(SM = x\). 2. Тогда, используя тригонометрию, у нас: \[ CM = x \cdot \frac{2}{3} \] Так как M находится на прямой CD, длина CD равна \(h\). Так как CM — это половина длины действительно \(h\): \[ h = 2 \cdot CM \] \[ h = 2 \cdot \left( x \cdot \frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} x \] ### Шаг 6: Площадь поверхности пирамиды Площадь поверхности пирамиды складывается из основания и четырёх треугольных граней: 1. Площадь основания \(A\) (квадрат): \[ A = CD^2 = h^2 = \left( \frac{4}{3} x \right)^2 = \frac{16}{9} x^2 \] 2. Площадь боковых граней: Каждая боковая грань является треугольником, так что необходимо вычислить площадь одного треугольника и умножить на 4. Площадь треугольника SCD: \[ A_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SM \] \[ CD = h, \; SM = x \] Следовательно: \[ A_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{3} x \right) \cdot x = \frac{2}{3} x^2 \] Таким образом, суммарная площадь боковых граней: \[ A_{боковые} = 4 \cdot A_{SCD} = 4 \cdot \frac{2}{3} x^2 = \frac{8}{3} x^2 \] ### Шаг 7: Общая площадь поверхности Теперь подытожим: \[ S_{поверхности} = A + A_{боковые} = \frac{16}{9} x^2 + \frac{8}{3} x^2 \] ### Приводим к общему знаменателю - Приведем вторую часть к общему знаменателю \(9\): \[ \frac{8}{3} x^2 = \frac{24}{9} x^2 \] Таким образом: \[ S_{поверхности} = \frac{16}{9} x^2 + \frac{24}{9} x^2 = \frac{40}{9} x^2 \] ### Ответ Площадь поверхности пирамиды: \[ S_{поверхности} = \frac{40}{9} x^2 \] Эти расчеты показывают, что правильная пирамида имеет площадь, зависящую от величины бокового ребра \(SM\).

В данной задаче использованы некоторые базовые математические концепции: 1. : Это трехмерная фигура с многоугольным основанием и одной вершиной, линией, соединяющей каждую вершину основания с вершиной пирамиды. Если основание является правильным многоугольником, то фигура называется правильной пирамидой. 2. : В треугольнике синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. Углы и тригонометрические функции часто используются для нахождения сторон и углов в геометрических фигурах. 3. : Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ A = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \] 4. : Площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней, которую можно представлять как обобщение площади отдельных треугольников и многоугольников. 5. : При сложении дробей важно приводить их к общему знаменателю для правильного выполнения операции. ### Примерные задачи с решением #### Пример 1 : Найдите площадь поверхности правильной пирамиды с квадратным основанием, длина ребра основания 4 см, а высота 6 см. : 1. Площадь основания \(A\): \[ A = a^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2 \] 2. Площадь боковых граней (каждая грань является равнобедренным треугольником): - Высота боковой грани \(h_b\): \[ h_b = \sqrt{(2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ см} \] - Площадь одной боковой грани: \[ A_{боковая} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \text{ см}^2 \] - Суммарная площадь боковых граней: \[ A_{боковые} = 4 \cdot A_{боковая} = 4 \cdot 4\sqrt{10} = 16\sqrt{10} \text{ см}^2 \] 3. Общая площадь поверхности: \[ S_{поверхности} = A + A_{боковые} = 16 + 16\sqrt{10} \text{ см}^2 \] --- #### Пример 2 : Найдите площадь поверхности пирамиды с квадратным основанием, длина ребра которого равна 5 м, а высота 7 м. : 1. Площадь основания \(A\): \[ A = a^2 = 5^2 = 25 \text{ м}^2 \] 2. Высота боковой грани \(h_b\): \[ h_b = \sqrt{(2.5)^2 + (7)^2} = \sqrt{6.25 + 49} = \sqrt{55.25} \approx 7.43 \text{ м} \] 3. Площадь одной боковой грани: \[ A_{боковая} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7.43 \approx 18.57 \text{ м}^2 \] 4. Суммарная площадь боковых граней: \[ A_{боковые} = 4 \cdot A_{боковая} \approx 4 \cdot 18.57 \approx 74.28 \text{ м}^2 \] 5. Общая площадь поверхности: \[ S_{поверхности} = A + A_{боковые} = 25 + 74.28 \approx 99.28 \text{ м}^2 \] --- : В правильной пирамиде с квадратным основанием ABCD известно, что длина ребра основания равна 3 см, а высота пирамиды составляет 4 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. --- Решите задачу самостоятельно, применяя данные концепции.