d^2/dx^2=4 y=0 при x=0

Решим задачу, которая выглядит как дифференциальное уравнение второго порядка: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 4 \] 1. **Интегрирование дважды**. Нам нужно интегрировать уравнение дважды, чтобы найти функцию \( y \). - Первое интегрирование: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = 4x + C_1 \] Здесь \( C_1 \) — это константа интегрирования. 2. **Второе интегрирование**: \[ \frac{dy}{dx} = 4x + C_1 \implies y = 2x^2 + C_1 x + C_2 \] Здесь \( C_2 \) — это еще одна константа интегрирования. 3. **Применение начальных условий**. У нас есть условие \( y(0) = 0 \): \[ y(0) = 2(0)^2 + C_1(0) + C_2 = 0 \implies C_2 = 0 \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ y = 2x^2 + C_1 x \] 4. **Второе начальное условие**. Мы знаем, что \( \frac{dy}{dx} \) тоже должно быть равно 0 при \( x = 0 \): \[ \frac{dy}{dx} = 4x + C_1 \] Подставим \( x = 0 \): \[ 4(0) + C_1 = 0 \implies C_1 = 0 \] 5. **Итоговое решение**. Теперь подставим значения \( C_1 \) и \( C_2 \) обратно в уравнение: \[ y = 2x^2 + 0 \cdot x + 0 = 2x^2 \] 6. **Проверка**. Проверим, удовлетворяет ли полученная функция исходному уравнению и начальным условиям: - Второе производное: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2}{dx^2}(2x^2) = 4 \] Это соответствует правой части уравнения. - Начальные условия: \[ y(0) = 2(0)^2 = 0, \quad \frac{dy}{dx}(0) = 4(0) = 0 \] Таким образом, окончательное решение задачи: \[ y = 2x^2 \]