Фабрика выпускает 70 % продукции высшего сорта. Покупатель приобрел 5 изделий, изготовленных на данной фабрике. Какова вероятность того, что 2 из них – высшего сорта?

Для решения задачи о вероятности того, что из 5 изделий, изготовленных на фабрике, 2 будут высшего сорта, мы применим биномиальное распределение. Давайте разберемся по шагам. ### Шаг 1: Определим параметры задачи - Вероятность того, что изделие - высшего сорта (p) = 0,7 (или 70%). - Вероятность того, что изделие - не высшего сорта (q) = 1 - p = 0,3 (или 30%). - Общее количество изделий (n) = 5. - Необходимое количество высшего сорта изделий (k) = 2. ### Шаг 2: Формула для биномиального распределения Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \] где: - \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\). - \(p^k\) - вероятность успеха возведенная в степень k. - \(q^{(n-k)}\) - вероятность неуспеха возведенная в степень (n-k). ### Шаг 3: Вычислим биномиальный коэффициент В нашем случае: \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \] Раскроем факториалы: \[ = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \] ### Шаг 4: Подставим значения в формулу вероятности Теперь подставим все значения в формулу: \[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot p^2 \cdot q^{(5-2)} \] \[ P(X = 2) = 10 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^{3} \] Посчитаем \( (0.7)^2 \) и \( (0.3)^{3} \): \[ (0.7)^2 = 0.49 \] \[ (0.3)^{3} = 0.027 \] Теперь подставим эти значения: \[ P(X = 2) = 10 \cdot 0.49 \cdot 0.027 \] ### Шаг 5: Вычислим итоговую вероятность Теперь вычислим: \[ P(X = 2) = 10 \cdot 0.49 \cdot 0.027 = 10 \cdot 0.01323 = 0.1323 \] ### Ответ Вероятность того, что 2 из 5 изделий будут высшего сорта, составляет примерно 0.1323 или 13.23%.