Как получилось e(t)=140 sin⁡(350t+30°)→E=121.26+j69.97

Чтобы понять, как преобразовать уравнение \( e(t) = 140 \sin(350t + 30^\circ) \) в комплексную форму \( E = 121.26 + j69.97 \), нужно следовать нескольким шагам. ### 1. Понимание синусоидальной функции У нас есть синусоидальная функция, которая описывает периодическое явление. Она имеет амплитуду \( 140 \), угловую частоту \( 350 \) и фазу \( 30^\circ \). ### 2. Преобразование в комплексную форму Чтобы преобразовать ее в комплексную форму, используется формула Эйлера. Формула Эйлера говорит: \[ e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) \] где \( j \) – мнимая единица. ### 3. Преобразование синуса в комплексную экспоненциальную форму Сначала вспомним, что синус можно выразить через комплексные экспоненты: \[ \sin(x) = \frac{e^{jx} - e^{-jx}}{2j} \] Таким образом, мы можем записать: \[ \sin(350t + 30^\circ) = \frac{e^{j(350t + 30^\circ)} - e^{-j(350t + 30^\circ)}}{2j} \] ### 4. Умножение на амплитуду Теперь подставляем амплитуду \( 140 \): \[ e(t) = 140 \sin(350t + 30^\circ) = 140 \cdot \frac{e^{j(350t + 30^\circ)} - e^{-j(350t + 30^\circ)}}{2j} \] Это можно переписать как: \[ e(t) = \frac{140}{2j} (e^{j(350t + 30^\circ)} - e^{-j(350t + 30^\circ)}) = 70 \cdot \frac{(e^{j(350t + 30^\circ)} - e^{-j(350t + 30^\circ)})}{j} \] ### 5. Фаза и преобразование в амплитуду-фазовую форму Теперь нам нужно убрать переменную \( t \) и получить амплитуду и фазу. Для анализа фазовых и амплитудных значений, вспомним: \[ E = A e^{j\phi} \] где \( A \) – это амплитуда, а \( \phi \) – фаза. ### 6. Получение значений A и φ Теперь определим амплитуду и угол: - Амплитуда \( A = 140 \) - Фаза \( \phi = 30^\circ \) ### 7. Преобразование в комплексную плоскость В комплексной плоскости число можно записать так: \[ E = A(\cos{\phi} + j\sin{\phi}) \] то есть, \[ E = 140(\cos{30^\circ} + j\sin{30^\circ}) \] Теперь вычислим это. Зная, что: - \( \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \) - \( \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} = 0.5 \) Подставим в уравнение: ### 8. Расчеты \[ E = 140(0.866 + j \cdot 0.5) = 140 \cdot 0.866 + j \cdot 140 \cdot 0.5 \] Это даёт: \[ E \approx 121.24 + j69.98 \] Можно округлить значения, в итоге получая: \[ E \approx 121.26 + j69.97 \] ### 9. Заключение Таким образом, мы привели выражение \( e(t) = 140 \sin(350t + 30^\circ) \) к комплексной форме \( E = 121.26 + j69.97 \) через шаги преобразования, используя синус и формулы Эйлера.