Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) y = 2x ^ 3 + 3x ^ 2 - 2

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции \( y = 2x^3 + 3x^2 - 2 \), необходимо выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найти производную функции Сначала найдём производную функции \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 2) = 6x^2 + 6x \] ### Шаг 2: Найти критические точки Чтобы определить интервалы возрастания и убывания, нужно найти критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 6x^2 + 6x = 0 \] Факторизуем: \[ 6x(x + 1) = 0 \] Теперь решим уравнение: 1. \( 6x = 0 \) → \( x = 0 \) 2. \( x + 1 = 0 \) → \( x = -1 \) Таким образом, критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 0 \). ### Шаг 3: Анализ знаков производной Теперь нужно проанализировать знаки производной на интервалах, определяемых критическими точками. Рассмотрим интервалы: 1. \( (-\infty, -1) \) 2. \( (-1, 0) \) 3. \( (0, +\infty) \) Выберем тестовые точки для каждого интервала: - Для интервала \( (-\infty, -1) \) выберем \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 \quad (> 0) \quad \text{(функция возрастает)} \] - Для интервала \( (-1, 0) \) выберем \( x = -0.5 \): \[ y'(-0.5) = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 \quad (< 0) \quad \text{(функция убывает)} \] - Для интервала \( (0, +\infty) \) выберем \( x = 1 \): \[ y'(1) = 6(1)^2 + 6(1) = 6 + 6 = 12 \quad (> 0) \quad \text{(функция возрастает)} \] ### Шаг 4: Подведение итогов Собрав вместе результаты, мы имеем: - Функция возрастает на интервалах: \( (-\infty, -1) \) и \( (0, +\infty) \) - Функция убывает на интервале: \( (-1, 0) \) ### Ответ: Функция \( y = 2x^3 + 3x^2 - 2 \) возрастает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (0, +\infty) \), убывает на интервале \( (-1, 0) \).