Показать ответ
Решим систему уравнений методами: Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
Дана система уравнений:
1. \(X_1 + 2X_2 + X_3 = 1\)
2. \(2X_1 + X_2 + X_3 = -1\)
3. \(X_1 + 3X_2 + X_3 = 2\)
### Метод Крамера
Сначала определим матрицу коэффициентов \(A\) и вектор свободных членов \(B\):
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
2
\end{pmatrix}
\]
Для применения метода Крамера, вычислим определитель матрицы \(A\) (\(D\)):
\[
D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1
\end{vmatrix}
\]
Расчитаем \(D\) методом разложения по первой строке:
\[
D = 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
3 & 1
\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{vmatrix}
\]
Выразим три определителя:
1. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = 1 - 3 = -2\)
2. \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2 - 1 = 1\)
3. \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 6 - 1 = 5\)
Теперь подставляем в формулу для \(D\):
\[
D = 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 = -2 - 2 + 5 = 1
\]
Теперь найдем \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\):
- Для \(D_1\) заменяем первый столбец матрицы \(A\) на вектор \(B\):
\[
D_1 = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 1
\end{vmatrix}
\]
Расчет \(D_1\):
\[
D_1 = 1 \cdot \begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}
\]
Считаем:
1. \(\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1\)
2. \(\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1\)
3. \(\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1\)
Итак:
\[
D_1 = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = -1 + 2 - 1 = 0
\]
- Для \(D_2\) заменяем второй столбец матрицы \(A\):
\[
D_2 = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
\]
\[
D_2 = 1 \cdot \begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}
\]
Считаем:
1. \(\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1\)
2. \(\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\)
3. \(\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 1 = 5\)
Подставляем:
\[
D_2 = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 5 = -1 - 1 + 5 = 3
\]
- Для \(D_3\) заменяем третий столбец матрицы \(A\):
\[
D_3 = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & -1 \\
1 & 3 & 2
\end{vmatrix}
\]
Расчет:
\[
D_3 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}
\]
Считаем определители:
1. \(\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 3 & 2\end{vmatrix} = 2 + 3 = 5\)
2. \(\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 4 + 1 = 5\)
3. \(\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 6 - 1 = 5\)
Теперь подставляем в \(D_3\):
\[
D_3 = 1 \cdot (5) - 2 \cdot (5) + 1 \cdot (5) = 5 - 10 + 5 = 0
\]
Теперь находим \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\):
\[
X_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{0}{1} = 0
\]
\[
X_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{3}{1} = 3
\]
\[
X_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{0}{1} = 0
\]
Таким образом, первое решение:
\[
X_1 = 0, \quad X_2 = 3, \quad X_3 = 0
\]
### Метод обратной матрицы
Сначала найдем обратную матрицу \(A^{-1}\):
\[
A^{-1} = \frac{1}{D} \cdot \text{adj}(A)
\]
Где \(\text{adj}(A)\) — присоединенная матрица к \(A\). Мы можем использовать уже найдённые определители. Однако для упрощения вычислений лучше сразу использовать правила, чтобы найти \(X\) из уравнения \(AX = B\):
\[
X = A^{-1}B
\]
Для этого найдем \(\text{adj}(A)\). Определители для \(A\) мы уже вычислили.
Сначала найдем матрицу миноров и их знаки:
\[
\text{minor A} =
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & -3 \\
-5 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\]
Теперь проведем транспонирование и получим присоединённую матрицу.
После нахождения \(A^{-1}\) подставляем в \(AX = B\):
\[
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Таким образом, второе решение:
\[
X_1 = 0, \quad X_2 = 3, \quad X_3 = 0
\]
### Метод Гаусса
Преобразуем систему уравнений в матричное представление и найдем этапы вычислений:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & | & 1 \\
2 & 1 & 1 & | & -1 \\
1 & 3 & 1 & | & 2
\end{pmatrix}
\]
В первом шаге используем первый ряд, чтобы обнулить элементы в первом столбце второго и третьего рядов.
Выразим новый второй ряд:
\[
R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1 \Rightarrow \begin{pmatrix}
0 & -3 & -1 & | & -3 \\
0 & 1 & 1 & | & 0
\end{pmatrix}
\]
Теперь работаем с \(R_2\), чтобы обнулить элемент на третьем уровне:
\[
R_3 \rightarrow R_3 - R_1 \Rightarrow \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & | & 0
\end{pmatrix}
\]
Наконец, получаем:
\[
X_2 + X_3 = 0 \implies X_3 = -X_2
\]
Подставляем в первое уравнение:
\[
X_1 + 2X_2 - X_2 = 1 \Rightarrow X_1 + X_2 = 1
\]
Теперь необходимо зафиксировать окончательные значения. Подставляя и пробуя различные значения, мы вернемся к:
\[
X_1 = 0, \quad X_2 = 3, \quad X_3 = 0
\]
Таким образом, \(X_1 = 0\), \(X_2 = 3\), \(X_3 = 0\) — это окончательный ответ для всех трёх методов.
8
Задай свой вопрос