Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса x^{2}+5y^{2}=20, а две другие совпадают с концами его малой оси

Для вычисления площади четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса, а две другие совпадают с концами его малой оси, начнем с анализа самого эллипса. 1. **Уравнение эллипса.** Дано уравнение эллипса: \[ \frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Приведем его к стандартному виду, выделив а и b: - \( a^2 = 20 \) ⇒ \( a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) - \( b^2 = 4 \) ⇒ \( b = 2 \) 2. **Нахождение фокусов.** Фокусы эллипса находятся на оси x и вычисляются по формуле: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \] Подставим значения: \[ c = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4 \] Таким образом, фокусы находятся в точках \( F_1(-4, 0) \) и \( F_2(4, 0) \). 3. **Концы малой оси.** Концы малой оси эллипса находятся на оси y и равны ±b: - Концы малой оси: \( A(0, 2) \) и \( B(0, -2) \). 4. **Четырехугольник.** Теперь у нас есть четыре вершины: \( F_1(-4, 0) \), \( F_2(4, 0) \), \( A(0, 2) \) и \( B(0, -2) \). Четверка \( F_1, A, F_2, B \). 5. **Формула площади четырехугольника.** Площадь четырехугольника можно вычислить с помощью формулы: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] Подставим координаты: - \( F_1(-4, 0) \): \( x_1 = -4, y_1 = 0 \) - \( A(0, 2) \): \( x_2 = 0, y_2 = 2 \) - \( F_2(4, 0) \): \( x_3 = 4, y_3 = 0 \) - \( B(0, -2) \): \( x_4 = 0, y_4 = -2 \) Подставляем: \[ S = \frac{1}{2} \left| (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 4 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 - \left(0 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot (-4)\right) \right| \] 6. **Вычисления.** Теперь вычислим каждую часть: \[ S = \frac{1}{2} \left| -8 + 0 - 8 + 0 - (0 + 8 + 0 + 8) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -16 - 16 \right| = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16 \] 7. **Ответ.** Площадь четырехугольника равна 16. Проверим еще раз: теперь, если все пересчитать по каждому шагу, то у нас все верно; и площадь равна 16.