Найди коэффициент бинома для седьмого члена разложения выражения ( C+d)^9

Чтобы найти коэффициент бинома для седьмого члена разложения выражения \((C + d)^9\), мы используем формулу бинома Ньютона. Формула выглядит так: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^{k} \] где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае: - \(a = C\) - \(b = d\) - \(n = 9\) - Нам нужен седьмой член, который соответствует \(k = 6\) (так как нумерация начинается с 0). Теперь вычислим коэффициент: 1. Найдем биномиальный коэффициент \(C(9, 6)\): \[ C(9, 6) = C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} \] 2. Вычислим факториалы: \[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! \] Таким образом, \[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3!} \] где \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\). 3. Подставим: \[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 9 \times \frac{8 \times 7}{6} = 9 \times \frac{56}{6} = 9 \times \frac{28}{3} = \frac{252}{3} = 84 \] 4. Теперь мы знаем биномиальный коэффициент \(C(9, 6) = 84\). 5. Также найдем \(C^{n-k}\) и \(d^k\): Седьмой член будет иметь вид: \[ C^{9-6}d^6 = C^3d^6 \] Таким образом, окончательно: Коэффициент седьмого члена разложения выражения \((C + d)^9\) равен 84, и седьмой член будет \(84C^3d^6\). Ответ: коэффициент седьмого члена разложения \((C + d)^9\) равен 84.

В биномиальной теории используется разложение выражений вида \((a + b)^n\) через биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты представляют собой количество способов выбрать элементы из двух наборов на разных уровнях. Основные концепты включают: 1. \(C(n, k)\): - Определение: Это количество способов выбрать \(k\) объектов из \(n\) без учета порядка. - Формула: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Здесь \(n!\) (факториал \(n\)) равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до \(n\). 2. : - Определение: Разложение \((a + b)^n\) по степеням \(a\) и \(b\). - Запись: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k \] Это означает, что выражение можно представить как сумму членов, где каждый член определяется соответствующим биномиальным коэффициентом и степенями \(a\) и \(b\). Теперь, давайте рассмотрим два примера для лучшего понимания. Найдите коэффициент при пятом члене разложения выражения \((x+y)^8\). 1. Поскольку мы ищем пятый член, \(k = 4\) (член 0 – это 1-й член). 2. Используем биномиальный коэффициент: \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} \] 3. Вычислим факториалы: \[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4! \] 4. Следовательно, \[ C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24} = \frac{1680}{24} = 70 \] 5. Пятый член будет \(70x^4y^4\). Найти коэффициент при третьем члене разложения \((2a + 3b)^6\). 1. Здесь ищем третий член, \(k = 2\). 2. Используем биномиальный коэффициент: \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} \] 3. Вычисляем: \[ 6! = 720, \quad 2! = 2, \quad 4! = 24 \] 4. Таким образом, \[ C(6, 2) = \frac{720}{2 \times 24} = \frac{720}{48} = 15 \] 5. Второй член будет \(15(2a)^4(3b)^2 = 15 \times 16a^4 \times 9b^2 = 2160a^4b^2\). Теперь давайте попробуем решить задачу самим. Найдите коэффициент при шестом члене разложения выражения \((2x + 5y)^7\). *Постарайтесь использовать формулу бинома и вычислить коэффициенты. Жду вашего решения!*