Решите неравенство: 2х−3
3х−2
> 0

Решим неравенство: \[ \frac{2x - 3}{3x - 2} > 0 \] ### Шаг 1: Определим, когда дробь положительна Чтобы дробь была больше нуля, числитель и знаменатель должны быть либо оба положительными, либо оба отрицательными. ### Шаг 2: Найдем нули числителя Решим уравнение: \[ 2x - 3 = 0 \] Добавим 3 к обеим сторонам: \[ 2x = 3 \] Теперь разделим обе стороны на 2: \[ x = \frac{3}{2} \] ### Шаг 3: Найдем нули знаменателя Теперь решим уравнение: \[ 3x - 2 = 0 \] Добавим 2 к обеим сторонам: \[ 3x = 2 \] Теперь разделим обе стороны на 3: \[ x = \frac{2}{3} \] ### Шаг 4: Определим интервалы Теперь мы знаем, что дробь может менять знак в точках \( x = \frac{3}{2} \) и \( x = \frac{2}{3} \). Разобьем числовую прямую на интервалы: 1. \( (-\infty, \frac{2}{3}) \) 2. \( (\frac{2}{3}, \frac{3}{2}) \) 3. \( (\frac{3}{2}, +\infty) \) ### Шаг 5: Проверим знаки на интервалах 1. Для интервала \( (-\infty, \frac{2}{3}) \): Выберем, например, \( x = 0 \): \[ \frac{2(0) - 3}{3(0) - 2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} > 0 \] 2. Для интервала \( (\frac{2}{3}, \frac{3}{2}) \): Выберем, например, \( x = 1 \): \[ \frac{2(1) - 3}{3(1) - 2} = \frac{2 - 3}{3 - 2} = \frac{-1}{1} = -1 < 0 \] 3. Для интервала \( (\frac{3}{2}, +\infty) \): Выберем, например, \( x = 2 \): \[ \frac{2(2) - 3}{3(2) - 2} = \frac{4 - 3}{6 - 2} = \frac{1}{4} > 0 \] ### Шаг 6: Соберем результаты На основе проверок знаков: - Интервал \( (-\infty, \frac{2}{3}) \) - положительный - Интервал \( (\frac{2}{3}, \frac{3}{2}) \) - отрицательный - Интервал \( (\frac{3}{2}, +\infty) \) - положительный ### Шаг 7: Определим, где неравенство выполняется Неравенство \[ \frac{2x - 3}{3x - 2} > 0 \] выполняется на интервалах: 1. \( (-\infty, \frac{2}{3}) \) 2. \( (\frac{3}{2}, +\infty) \) ### Шаг 8: Запишем окончательный ответ Неравенство выполнено для: \[ x \in (-\infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \] Выражение не определено в точках \( x = \frac{2}{3} \) и не включается, когда дробь равна нулю, так как \( x = \frac{3}{2} \) в неравенство должно быть больше нуля. Мы получили окончательный ответ!

Неравенства и дроби — важные математические концепции, которые используются для сравнения значений и изучения поведения функций. Основные понятия, применяемые в данной задаче, включают: 1. — это математическое утверждение, которое указывает, что одно выражение больше, меньше или не равно другому. Примеры неравенств: \( a > b \), \( c \leq d \). 2. — это форма представления отношения двух чисел (числителя и знаменателя). Важно, чтобы знаменатель не был равен нулю, поскольку деление на ноль не определено. 3. — дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), и отрицательна, когда они имеют разные знаки. 4. — это точки, в которых функция равна нулю, что в контексте дроби воспринимается как числитель, равный нулю. Они помогают нам определить, в каких интервалах дробь положительна. 5. — значения, разделенные на участок числовой прямой, где рассматривается знак выражения. Проверка знаков на этих интервалах позволяет определить, где выполняется неравенство. ### Примерные задачи с решением Решите неравенство: \[ \frac{x - 4}{2x + 3} < 0 \] Найдем нули числителя: \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \] Найдем нули знаменателя: \[ 2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} \] Определим интервалы: 1. \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) 2. \( (-\frac{3}{2}, 4) \) 3. \( (4, +\infty) \) Проверим знаки на интервалах: 1. \( x = -2 \): \[ \frac{-2 - 4}{2(-2) + 3} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0 \implies \text{положительно} \] 2. \( x = 0 \): \[ \frac{0 - 4}{2(0) + 3} = \frac{-4}{3} < 0 \implies \text{отрицательно} \] 3. \( x = 5 \): \[ \frac{5 - 4}{2(5) + 3} = \frac{1}{13} > 0 \implies \text{положительно} \] Неравенство выполняется на интервале: \[ (-\frac{3}{2}, 4) \] Ответ: \( x \in (-\frac{3}{2}, 4) \) --- Решите неравенство: \[ \frac{x^2 - 1}{x - 1} \geq 0 \] Найдем нули числителя: \[ x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 1, -1 \] Найдем нули знаменателя: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] Определим интервалы: 1. \( (-\infty, -1) \) 2. \( (-1, 1) \) 3. \( (1, +\infty) \) Проверим знаки на интервалах: 1. \( x = -2 \): \[ \frac{(-2)^2 - 1}{-2 - 1} = \frac{4 - 1}{-3} = \frac{3}{-3} = -1 < 0 \implies \text{отрицательно} \] 2. \( x = 0 \): \[ \frac{0^2 - 1}{0 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0 \implies \text{положительно} \] 3. \( x = 2 \): \[ \frac{2^2 - 1}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{1} = 3 > 0 \implies \text{положительно} \] Неравенство выполняется на интервалах: \[ [-1, 1) \cup (1, +\infty) \] Ответ: \( x \in [-1, 1) \cup (1, +\infty) \) --- Решите неравенство: \[ \frac{3x + 1}{x^2 - x - 6} > 0 \] Решите задачу самостоятельно, следуя тем же шагам, которые были описаны выше, и запишите свой ответ.