Для нахождения обратной функции к \( y = \sqrt{x - 1} \) выполняем следующие шаги:
**Шаг 1: Записать уравнение**
Дано уравнение:
\[ y = \sqrt{x - 1} \]
**Шаг 2: Изолировать \( x \)**
Чтобы найти обратную функцию, выразим \( x \) через \( y \). Начнем с возведения обеих сторон уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
\[ y^2 = x - 1 \]
**Шаг 3: Перенести 1 на другую сторону**
Теперь добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
\[ x = y^2 + 1 \]
**Шаг 4: Записать обратную функцию**
Мы выразили \( x \) через \( y \). Таким образом, обратная функция будет:
\[ f^{-1}(y) = y^2 + 1 \]
**Шаг 5: Заменить переменные**
В обратной функции обычно заменяют \( y \) на \( x \), чтобы обозначить, что это функция, а не просто переменная:
\[ f^{-1}(x) = x^2 + 1 \]
**Шаг 6: Определить область определения**
Теперь необходимо определить область определения обратной функции. Для исходной функции \( y = \sqrt{x - 1} \) область определения - это \( x \geq 1 \), так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, область значений для обратной функции будет \( y \geq 0 \).
**Финальный ответ:**
Обратная функция к \( y = \sqrt{x - 1} \) будет:
\[ f^{-1}(x) = x^2 + 1, \quad x \geq 0 \]
**Проверка:**
Чтобы убедиться, что мы правильно нашли обратную функцию, подставим \( f^{-1}(x) \) в оригинальную функцию:
1. Подставляем \( x = \sqrt{y - 1} \) в \( f^{-1}(y) \):
\[ f(f^{-1}(x)) = f(x^2 + 1) = \sqrt{(x^2 + 1) - 1} = \sqrt{x^2} = |x| \]
Поскольку область обратной функции \( x \geq 0 \), получаем \( x \).
Таким образом, все шаги выполнены правильно, и результаты проверены.
8
Задай свой вопрос